1 . 已知函数，其中.
(1)讨论的极值，当的极值为2时，求的值；
(2)证明：当时，；
(3)求证：.

2 . 已知函数，其中且．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：；
(3)求证：对任意的且，都有：…．（其中为自然对数的底数）

3 . 已知抛物线的准线方程为，点为坐标原点，不过点的直线与抛物线交于不同的两点．
(1)如果直线过点，求证： ；
(2)如果，证明：直线必过一定点，并求出该定点．

4 . 如图，已知椭圆（）的左，右顶点分别为，，椭圆的长轴长为4，椭圆上的点到焦点的最大距离为，为坐标原点.

   

(1)求椭圆的方程；
(2)设过点的直线，与椭圆分别交于点，，其中，
①证明：直线过定点，并求出定点坐标；
②求面积的最大值.

5 . 已知离心率为的椭圆与x轴，y轴正半轴交于两点，作直线的平行线交椭圆于两点.
(1)若的面积为1，求椭圆的标准方程；
(2)在（1）的条件下，记直线的斜率分别为，，求证：为定值；

6 . 已知椭圆，其上顶点为；
(1)若直线与椭圆交于、两点，求证：为定值；
(2)由椭圆上不同三点构成的三角形称为椭圆的内接三角形，现以为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形，求内接等腰直角三角形的个数．

7 . 已知函数.
(1)若，求证：；
(2)若函数在处取得极大值，求的取值范围.

8 . 已知椭圆的离心率为，直线截椭圆所得的弦长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线与轴交于点为粗圆上的两个动点、且均位于第一象限（不在直线上），直线、分别交椭圆于两点，直线分别交直线于两点.
①设，试用表示的坐标；
②求证：为线段的中点.

9 . 已知且，函数.
(1)记为数列的前项和.当时，试比较与2024的大小，并说明理由；
(2)当时，证明：；
(3)当且时，试讨论的零点个数.

10 . 帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：.（注：，为的导数）已知在处的阶帕德近似为.
(1)求实数的值；
(2)证明：当时，；
(3)设为实数，讨论方程的解的个数.