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解题方法
1 . 已知
为坐标原点，双曲线
的焦距为4，且经过点
(1)求
的方程；
(2)若直线
与交于
，
两点，且
．
（i）设直线的方程为
，求证：
；
（ii）求
的取值范围．
为坐标原点，双曲线的焦距为4，且经过点(1)求
的方程；(2)若直线
与交于，两点，且．（i）设直线
的方程为，求证：；（ii）求
的取值范围．
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2 . 已知椭圆：
的左右焦点为
、
，左右顶点分别为、，
是椭圆上异于、的点．
(1)求
的周长；
(2)若过的直线
与椭圆交于
、
两点，且
，求
的值；
(3)若直线过点且与
轴垂直，直线
交直线于点
，判断以
为直径的圆与直线
的位置关系，并加以证明．
的左右焦点为、，左右顶点分别为、，是椭圆上异于、的点．(1)求
的周长；(2)若过
的直线与椭圆交于、两点，且，求的值；(3)若直线
过点且与轴垂直，直线交直线于点，判断以为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明．
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3 . 对于函数
的导函数
，若在其定义域内存在实数
，
，使得
成立，则称
是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”．
(1)若
，
，求证：是“3跃点”函数；
(2)若
是定义在是
的“1跃点”函数，且在其定义域上有两个不同的“1跃点”，求实数
的范围；
(3)若
，是“1跃点”函数，且在其定义域内恰存在一个“1跃点”，求实数
的范围．
的导函数，若在其定义域内存在实数，，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”．(1)若
，，求证：是“3跃点”函数；(2)若
是定义在是的“1跃点”函数，且在其定义域上有两个不同的“1跃点”，求实数的范围；(3)若
，是“1跃点”函数，且在其定义域内恰存在一个“1跃点”，求实数的范围．
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解题方法
4 . 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：
（
，
）的左、右焦点分别为、，
是双曲线C上一点，且
.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P作直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于R、S两点.若点P恰为线段RS的中点，求直线l的方程；
(3)设斜率为-2的直线l与双曲线C交于A、B两点，点B关于坐标原点的对称点为D.若直线PA、PD的斜率均存在且分别为
、
，求证：
为定值.
（，）的左、右焦点分别为、，是双曲线C上一点，且.(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P作直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于R、S两点.若点P恰为线段RS的中点，求直线l的方程；
(3)设斜率为-2的直线l与双曲线C交于A、B两点，点B关于坐标原点的对称点为D.若直线PA、PD的斜率均存在且分别为
、，求证：为定值.
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解题方法
5 . 函数、
的定义域均为
，若对任意两个不同的实数，，均有
或
成立，则称与为相关函数对.
(1)判断函数
与
是否为相关函数对，并说明理由；
(2)已知
与
为相关函数对，求实数
的取值范围；
(3)已知函数与为相关函数对，且存在正实数，对任意实数
，均有
.求证：存在实数
，使得对任意
，均有
.
、的定义域均为，若对任意两个不同的实数，，均有或成立，则称与为相关函数对.(1)判断函数
与是否为相关函数对，并说明理由；(2)已知
与为相关函数对，求实数的取值范围；(3)已知函数
与为相关函数对，且存在正实数，对任意实数，均有.求证：存在实数，使得对任意，均有.
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2024-05-23更新
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450次组卷
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3卷引用：上海市杨浦区2024届高三下学期二模质量调研数学试卷
6 . 已知定义在
上的函数
的表达式为
，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列
（
）.
(1)求函数在区间
上的值域；
(2)求证：函数在区间
（）上有且仅有一个零点；
(3)求证：
.
上的函数的表达式为，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列（）.(1)求函数
在区间上的值域；(2)求证：函数
在区间（）上有且仅有一个零点；(3)求证：
.
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7 . 函数的表达式为
.
(1)若
，直线与曲线相切于点
，求直线的方程；
(2)函数的最小正周期是
，令
，将函数
的零点由小到大依次记为
，证明：数列
是严格减数列；
(3)已知定义在
上的奇函数满足
，对任意
，当
时，都有
且
.记
，
.当
时，是否存在
，使得
成立？若存在，求出符合题意的
；若不存在，请说明理由.
的表达式为.(1)若
，直线与曲线相切于点，求直线的方程；(2)函数
的最小正周期是，令，将函数的零点由小到大依次记为，证明：数列是严格减数列；(3)已知定义在
上的奇函数满足，对任意，当时，都有且.记，.当时，是否存在，使得成立？若存在，求出符合题意的；若不存在，请说明理由.
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8 . 若函数
的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数的图象的“自公切线”，称这两点为函数的图象的一对“同切点”.
(1)分别判断函数
与
的图象是否存在“自公切线”，并说明理由；
(2)若
，求证：函数
有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”；
(3)设
，
的零点为
，
，求证：“存在
，使得点
与
是函数
的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“
是数列
中的项”.
的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数的图象的“自公切线”，称这两点为函数的图象的一对“同切点”.(1)分别判断函数
与的图象是否存在“自公切线”，并说明理由；(2)若
，求证：函数有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”；(3)设
，的零点为，，求证：“存在，使得点与是函数的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”.
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9 . 已知与都是定义在上的函数，函数图像上任意两点
，记
表示此两点连线的斜率.当
时，都有
，则称是的一个“T函数”．
(1)判断
是否为函数
的一个
函数，并说明理由；
(2)设的导数为
，求证：关于的方程
在区间
上有实数解；
(3)函数
的导函数存在记为
，即
导函数存在记为
，当
都有
，函数是否存在T函数?若存在，请求出的所有函数；若不存在，请说明理由．
与都是定义在上的函数，函数图像上任意两点，记表示此两点连线的斜率.当时，都有，则称是的一个“T函数”．(1)判断
是否为函数的一个函数，并说明理由；(2)设
的导数为，求证：关于的方程在区间上有实数解；(3)函数
的导函数存在记为，即导函数存在记为，当都有，函数是否存在T函数?若存在，请求出的所有函数；若不存在，请说明理由．
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的左、右焦点分别为
，
，椭圆上有一点
，过点
两点．
的面积的最大值；
交于点
，
，
的斜率分别为
，证明：
为定值．
