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1 . 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若
是
的导函数，
是的导函数，则曲线
在点
处的曲率
.
在
处的曲率
的平方；
(2)求余弦曲线
曲率
的最大值；
(3)余弦曲线，若
，判断
在区间
上零点的个数，并写出证明过程.
是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.
在处的曲率的平方；(2)求余弦曲线
曲率的最大值；(3)余弦曲线
，若，判断在区间上零点的个数，并写出证明过程.
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解题方法
2 . 已知圆：
的圆心为椭圆
的右焦点
，且椭圆
的离心率为
.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点且不与
轴重合的直线
交椭圆于
两点，
为
的中点，
为坐标原点，分别过作椭圆的切线，两切线相交于点
.
（i）求证：
三点共线；
（ii）当不与轴垂直时，求
的最小值.
的圆心为椭圆的右焦点，且椭圆的离心率为.(1)求椭圆
的标准方程；(2)过点
且不与轴重合的直线交椭圆于两点，为的中点，为坐标原点，分别过作椭圆的切线，两切线相交于点.（i）求证：
三点共线；（ii）当
不与轴垂直时，求的最小值.
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3 . 设
是函数
的导函数，若可导，则称函数的导函数为的二阶导函数，记为
.若有变号零点
，则称点
为曲线
的“拐点”.
(1)研究发现，任意三次函数
，曲线都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心.已知函数
的图象的对称中心为
，求函数的解析式，并讨论的单调性；
(2)已知函数
.
（i）求曲线
的“拐点”；
（ii）若
，求证：
.
是函数的导函数，若可导，则称函数的导函数为的二阶导函数，记为.若有变号零点，则称点为曲线的“拐点”.(1)研究发现，任意三次函数
，曲线都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心.已知函数的图象的对称中心为，求函数的解析式，并讨论的单调性；(2)已知函数
.（i）求曲线
的“拐点”；（ii）若
，求证：.
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解题方法
4 . 已知函数
.
(1)若函数在
上单调递减，求实数
的取值范围；
(2)若函数有两个极值点
，
，
①求实数的取值范围；
②求证：
.
.(1)若函数
在上单调递减，求实数的取值范围；(2)若函数
有两个极值点，，①求实数
的取值范围；②求证：
.
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解题方法
5 . 曲率是曲线的重要性质，表征了曲线的“弯曲程度”，曲线曲率解释为曲线某点切线方向对弧长的转动率，设曲线
具有连续转动的切线，在点
处的曲率
，其中为的导函数，为的导函数，已知
．
(1)
时，求在极值点处的曲率；
(2)
时，是否存在极值点，如存在，求出其极值点处的曲率；
(3)
，
，当，
曲率均为0时，自变量最小值分别为，，求证：
．
具有连续转动的切线，在点处的曲率，其中为的导函数，为的导函数，已知．(1)
时，求在极值点处的曲率；(2)
时，是否存在极值点，如存在，求出其极值点处的曲率；(3)
，，当，曲率均为0时，自变量最小值分别为，，求证：．
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6 . 已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，证明：
.
.(1)讨论
的单调性；(2)当
时，证明：.
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7 . 已知椭圆
经过点
，且焦距为2．
(1)求椭圆
的方程；
(2)椭圆的左、右焦点分别为
，
，若
，
，，
四点都在椭圆上，直线
与
交于点，且直线，
分别过点，．
①若直线和
的斜率存在且分别为
，
，求证：
为定值；
②求四边形
面积的最大值．
经过点，且焦距为2．(1)求椭圆
的方程；(2)椭圆
的左、右焦点分别为，，若，，，四点都在椭圆上，直线与交于点，且直线，分别过点，．①若直线
和的斜率存在且分别为，，求证：为定值；②求四边形
面积的最大值．
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解题方法
8 . 已知函数
为其导函数．
(1)若
恒成立，求的取值范围；
(2)若存在两个不同的正数
，使得
，证明：
．
为其导函数．(1)若
恒成立，求的取值范围；(2)若存在两个不同的正数
，使得，证明：．
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7日内更新
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521次组卷
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4卷引用：广东省江门市鹤山市第一中学2023-2024学年高二下学期第二阶段考试（5月）数学试题
广东省江门市鹤山市第一中学2023-2024学年高二下学期第二阶段考试（5月）数学试题河北省保定市2024届高三下学期第二次模拟考试数学试题（已下线）专题8 导数与拐点偏移【练】（已下线）专题6 导数与零点偏移【练】
解题方法
9 . 已知椭圆C
的左、右焦点分别为
，过点P（2，1）的直线l与C交于A，B两点，当直线l过时，直线l的斜率为
，且
的周长为
(1)求C的方程；
(2)若过点A且斜率为
的直线交C于另外一点D，证明：直线BD恒过定点．
的左、右焦点分别为，过点P（2，1）的直线l与C交于A，B两点，当直线l过时，直线l的斜率为，且的周长为(1)求C的方程；
(2)若过点A且斜率为
的直线交C于另外一点D，证明：直线BD恒过定点．
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解题方法
10 . 已知函数
.
(1)求函数的最小值；
(2)若
，且
，求证：
.
.(1)求函数
的最小值；(2)若
，且，求证：.
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