1 . 在直角坐标平面内，已知，动点满足条件：直线与直线的斜率之积等于，记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点作直线交于两点（与不重合），直线与的交点是否在一条定直线上？若是，求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由.

2 . 设函数.
(1)若当时，取得极值，求的值，并求的单调区间.
(2)若存在两个极值点，求的取值范围，并证明：.

3 . 已知函数.
（1）证明：，；
（2）判断的零点个数，并给出证明过程.

4 . 已知函数.
（1）若在函数处的切线垂直于轴，求在的最小值；
（2）求证：时，恒成立.

5 . 已知函数（为自然对数的底数），为的导函数，且.
（1）求实数的值；
（2）若函数在处的切线经过点，求函数的极值；
（3）若关于的不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围.

6 . 已知函数为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若，证明：关于的不等式在上恒成立．

7 . 函数.
（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围；
（2）求证：，时，.

8 . 已知函数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当，时，对任意，都有成立，求实数的取值范围.

9 . 已知函数且.
（1）求a；
（2）证明：存在唯一的极大值点，且.