1 . 在直角坐标平面内，已知，动点满足条件：直线与直线的斜率之积等于，记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点作直线交于两点（与不重合），直线与的交点是否在一条定直线上？若是，求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由.

2 . 已知双曲线的右焦点为，的两条渐近线分别与直线交于，两点，且的长度恰好等于点到渐近线距离的倍.
(1)求双曲线的离心率；
(2)已知过点且斜率为1的直线与双曲线交于，两点，为坐标原点，若对于双曲线上任意一点，均存在实数，，使得，试确定，的等量关系式.

3 . 已知，函数，.
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)设较小的零点为，证明：.

4 . 已知，函数．
(1)证明存在唯一极大值点；
(2)若存在，使得对任意成立，求的取值范围．

5 . 已知函数．
(1)当时，判断在的单调性；
(2)设，证明：．

6 . 设函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数有两个不同的零点，，为的导函数，求证：．

7 . 设函数，其中.
(1)当，时，求证：；
(2)若为的极值点，且，，求的值.

8 . 椭圆经过点，其右焦点为抛物线的焦点；直线与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过原点.

(1)求椭圆的方程；
(2)若过原点的直线与椭圆交于两点，且，求四边形面积的最大值.

10 . 已知函数，.
（1）讨论在上的单调性；
（2）当时，讨论在上的零点个数.