1 . 设函数，满足：①；②对任意，恒成立．

   

(1)求函数的解析式．
(2)设矩形的一边在轴上，顶点，在函数的图象上．设矩形的面积为，求证：．

2 . 在平面直角坐标系xOy中，分别求满足下列条件的动点M的轨迹方程，并说明方程表示何种曲线.
(1)动点M到点的距离是到点的距离的3倍；
(2)动点M到点的距离与到直线的距离之比为.

3 . 如图，人们打算对长方形地块进行开发建设，其中百米，百米，长方形各边中点分别为E，F，G，H，现计划在此地块正中间铺一块椭圆形草坪，长轴在线段上且长度为6百米，椭圆离心率为.同时计划修一条长为6百米的路（其中，分别在线段，上，路的宽度忽略不计），并在内修建花圃.
   
(1)求椭圆上的点到直线的最短距离；
(2)求线段的中点到椭圆中心的距离的最小值.

4 . 已知．
(1)比较与的大小．
(2)试问“”是“”的什么条件？说明你的理由．

5 . 已知与两边上中线长的差的绝对值为．
(1)求三角形重心的轨迹方程；
(2)若，点在直线上，连结，与轨迹的轴右侧部分交于两点，求点到直线距离的最大值．

6 . 如图，已知点M在圆上运动，轴(垂足为N)，点Q在NM的延长线上，且.
   
(1)求动点Q的轨迹方程；
(2)直线l：与1中动点Q的轨迹交于两个不同的点A和B，圆O上存在两点C、D，满足，，求m的取值范围；

7 . 高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A，B，定义且，将称为“A与B的笛卡尔积”
(1)若，，求和；
(2)试证明：“”是“”的充要条件；
(3)若集合是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件.

8 . 已知函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”.
(1)已知 为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，求；
(2)已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有；
(3)已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列?请说明理由.

9 . 设，已知椭圆的方程为，双曲线的方程为，把合称为曲线.
(1)若的离心率为，求的离心率；
(2)若，为上一动点， 为定点， 求的最小值;
(3)若，为上一动点， 为上一动点，且，问是否为定值?如果是，求出该定值，如果不是，请说明理由.

10 . 已知点为椭圆：（）内一点，过点的直线与交于两点．当直线经过的右焦点时，点恰好为线段的中点．
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆的光学性质是指：从椭圆的一个焦点出发的一束光线经椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点．设从椭圆的左焦点出发的一束光线经过点，被直线反射，反射后的光线经过椭圆二次反射后恰好经过点，由此形成的三角形称之为“光线三角形”．求此时直线的方程，并计算“光线三角形”的周长．