1 . 在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆C：＋ ＝1的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆C上且异于点A、B，直线AP、PB与直线l：y＝－2分别交于点M、N.

（1）设直线AP、PB的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁·k₂为定值；
（2）求线段MN长的最小值；
（3）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．

2 . 已知双曲线的中心在原点，焦点F₁，F₂在坐标轴上，离心率为，且过点．点M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：；
(3)求△F₁MF₂的面积．

3 . 已知，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与轨迹交于点，与交于点，过作的垂直线交轴于点，求证：.

4 . 已知是抛物线上任意一点，，且点为线段的中点．
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）若为点关于原点的对称点，过的直线交曲线于、 两点，直线交直线于点，求证：．

5 . 已知抛物线的焦点F与双曲线的一个焦点重合，D为直线上的动点，过点D作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B．
（1）求抛物线C的方程；
（2）证明直线过定点

6 . 过点的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，．
   （1）求的值；
   （2）若与坐标轴不平行，且关于轴的对称点为，求证：直线恒过定点．

7 . 已知椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为4，离心率为，点为椭圆的左顶点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设圆，过点作圆的两条切线分别交椭圆于点和，求证：直线过定点.

8 . 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆，如图所示，斜率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于两点A，B，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x＝﹣3于点D（﹣3，m）．

（1）求m²+k²的最小值；
（2）若|OG|²＝|OD|•|OE|，求证：直线l过定点．

9 . 如图，C、D是离心率为的椭圆的左、右顶点，、是该椭圆的左、右焦点， A、B是直线4上两个动点，连接AD和BD，它们分别与椭圆交于点E、F两点，且线段EF恰好过椭圆的左焦点. 当时，点E恰为线段AD的中点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求证：以AB为直径的圆始终与直线EF相切．

10 . 已知椭圆：的离心率为，且椭圆上一点的坐标为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于，两点，且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线恒过轴上一定点.