1 . 双曲线的左、右焦点分别为，，焦距等于8，点M在双曲线C上，且，的面积为12.
(1)求双曲线C的方程；
(2)双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过的斜率不为的直线l与双曲线C交于P，Q两点，连接AQ，BP，求证：直线AQ与BP的交点恒在一条定直线上.

2 . 已知双曲线的中心在原点，焦点F₁，F₂在坐标轴上，离心率为，且过点．点M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：；
(3)求△F₁MF₂的面积．

3 . 过点的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，．
   （1）求的值；
   （2）若与坐标轴不平行，且关于轴的对称点为，求证：直线恒过定点．

4 . 设抛物线，直线与交于，两点．
若，求直线的方程；
点为的中点，过点作直线与轴垂直，垂足为．求证：以为直径的圆必经过一定点，并求出该定点坐标．

5 . 已知抛物线的焦点为，直线与相交于两点．

（1）记直线的斜率分别为，求证：；
（2）若抛物线上异于的一点到的准线的距离为，且，问：直线是否恒过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．

6 . 圆O：x²+y²＝9上的动点P在x轴、y轴上的射影分别是P₁，P₂，点M满足．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）点A（0，1），B（0，﹣3），过点B的直线与轨迹C交于点S，N，且直线AS、AN的斜率k_AS，k_AN存在，求证：k_AS•k_AN为常数．

7 . 已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线交于，两点，是坐标原点．
（1）若直线过点且，求直线的方程；
（2）已知点，若直线不过点、不与坐标轴垂直，且，证明：直线过定点．

8 . 已知焦点在x轴上且长轴长为4的椭圆C过点T（1，1），记l为圆O：x²+y²=1的切线
（1）求椭圆C的方程；
（2）若l与椭圆C交于A、B两点，求证：∠AOB为定值．

9 . 设抛物线的焦点为，点是上一点，且的中点坐标为.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）动直线过点，且与抛物线交于两点，点与点关于轴对称（点与点不重合），求证：直线恒过定点.

10 . 已知椭圆：的离心率为，焦距为．
（1）求的方程；
（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点（点，均在第一象限），为坐标原点，证明：直线，，的斜率依次成等比数列．