1 . 在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆C：＋ ＝1的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆C上且异于点A、B，直线AP、PB与直线l：y＝－2分别交于点M、N.

（1）设直线AP、PB的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁·k₂为定值；
（2）求线段MN长的最小值；
（3）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．

2 . 双曲线的左、右焦点分别为，，焦距等于8，点M在双曲线C上，且，的面积为12.
(1)求双曲线C的方程；
(2)双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过的斜率不为的直线l与双曲线C交于P，Q两点，连接AQ，BP，求证：直线AQ与BP的交点恒在一条定直线上.

3 . 在平面直角坐标系中，已知圆心为点Q的动圆恒过点，且与直线相切，设动圆的圆心 Q的轨迹为曲线.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）过点F的两条直线、与曲线相交于A、 B、C、D四点，且M、N分别为、的中点.设与 的斜率依次为、，若，求证：直线 MN恒过定点.

5 . 如图，已知椭圆与圆E：在第一象限相交于点P，椭圆C的左、右焦点F₁，F₂都在圆E上，且线段PF₁为圆E的直径．

（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点的动直线1与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，证明：为定值，并求出这个定值．

6 . 已知点F为抛物线C：y²＝4x的焦点，过点F作斜率为k的直线l与抛物线交于A，B两点，与准线交于点P，设点D为抛物线准线与x轴的交点．

（1）若k＝﹣1，求△DAB的面积；
（2）若λ，μ，证明：λ+μ为定值．

7 . 已知抛物线的焦点F与双曲线的一个焦点重合，D为直线上的动点，过点D作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B．
（1）求抛物线C的方程；
（2）证明直线过定点

8 . 已知椭圆的一个焦点为，点在C上.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点，过F作直线l交椭圆于A、B两点，求证：．

9 . 已知是抛物线上一点过抛物线的焦点作条直线，直线与抛物线交于不同的两点，，在点处作抛物线的切线在点处作抛物线的切线.

（1）求的值及焦点的坐标；
（2）设切线的斜率为，切线的斜率为，求证：.

10 . 在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点．
（1）求证：命题“如果直线过点T（3，0），那么＝3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．