1 . 已知离心率为
的双曲线
的虚轴长为2．
(1)求C的方程；
(2)已知
，过点
的直线l（斜率不为0）与C交于M，N两点，直线
与
交于点P，若Q为圆
上的动点，求
的最小值.
的双曲线的虚轴长为2．(1)求C的方程；
(2)已知
，过点的直线l（斜率不为0）与C交于M，N两点，直线与交于点P，若Q为圆上的动点，求的最小值.
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解题方法
2 . 已知
，我们称双曲线
与椭圆
互为“伴随曲线”，点
为双曲线
和椭圆
的下顶点.
(1)若
为椭圆的上顶点，直线
与交于
，
两点，证明：直线
，
的交点在双曲线上；
(2)过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦长为
，双曲线的一条渐近线方程为
，若
为双曲线的上焦点，直线
经过且与双曲线上支交于
，
两点，记
的面积为
，
（
为坐标原点），
的面积为
.
（i）求双曲线的方程；
（ii）证明：
.
，我们称双曲线与椭圆互为“伴随曲线”，点为双曲线和椭圆的下顶点.(1)若
为椭圆的上顶点，直线与交于，两点，证明：直线，的交点在双曲线上；(2)过椭圆
的一个焦点且与长轴垂直的弦长为，双曲线的一条渐近线方程为，若为双曲线的上焦点，直线经过且与双曲线上支交于，两点，记的面积为，（为坐标原点），的面积为.（i）求双曲线
的方程；（ii）证明：
.
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2024-02-08更新
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988次组卷
|
3卷引用：河南省信阳市新县高级中学2024届高三考前第五次适应性考试数学试题
名校
解题方法
3 . 已知双曲线
的右焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若直线与双曲线的另一条渐近线交于点，且
（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
的右焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若直线与双曲线的另一条渐近线交于点，且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）A． | B． | C． | D． |
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2024-02-04更新
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473次组卷
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4卷引用：河南省南阳市第一中学校2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题
名校
解题方法
4 . 已知双曲线
，点
，
分别在两条渐近线上（不与原点重合），点是
上的一个动点，且
，记直线
的斜率分别为
，则下列说法正确的是（ ）
，点，分别在两条渐近线上（不与原点重合），点是上的一个动点，且，记直线的斜率分别为，则下列说法正确的是（ ）A． 为定值 | B．当 轴时， 为定值 |
C． 为定值 | D． 为定值 |
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名校
解题方法
5 . 已知双曲线的左，右焦点分别为
为右支上一点，
的内切圆圆心为，直线
交
轴于点
，则双曲线的离心率为__________ .
的左，右焦点分别为为右支上一点，的内切圆圆心为，直线交轴于点，则双曲线的离心率为
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2024-01-29更新
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2414次组卷
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4卷引用：河南省漯河市高级中学2024届高三下学期5月月考数学试题
名校
6 . 已知椭圆
与双曲线
的焦距之比为
．
(1)求椭圆
和双曲线
的离心率；
(2)设双曲线的右焦点为F，过F作
轴交双曲线于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆的左、右顶点，与椭圆交于另一点Q，O为坐标原点，证明：
．
与双曲线的焦距之比为．(1)求椭圆
和双曲线的离心率；(2)设双曲线
的右焦点为F，过F作轴交双曲线于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆的左、右顶点，与椭圆交于另一点Q，O为坐标原点，证明：．
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2024-01-25更新
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955次组卷
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8卷引用：河南省新乡市2023-2024学年高二上学期1月期末测试数学试题
解题方法
7 . 已知双曲线C：
实轴的左、右端点分别为
，
，点
在C上，且
，
的斜率之积为．
(1)求C的方程；
(2)已知直线l与C交于M，N两点（均与P不重合），与直线
交于点Q，且点M，N在直线的两侧，若
，线段MN的中点为R，证明：点R在一条定直线上．
实轴的左、右端点分别为，，点在C上，且，的斜率之积为．(1)求C的方程；
(2)已知直线l与C交于M，N两点（均与P不重合），与直线
交于点Q，且点M，N在直线的两侧，若，线段MN的中点为R，证明：点R在一条定直线上．
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8 . 已知双曲线
的右焦点
，渐近线方程
．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过点F的直线l与双曲线C的右支交于A、B两点，交y轴于点P，若
，
，求证：
为定值；
(3)在（2）的条件下，若点Q是点P关于原点O的对称点，求
面积的取值范围．
的右焦点，渐近线方程．(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过点F的直线l与双曲线C的右支交于A、B两点，交y轴于点P，若
，，求证：为定值；(3)在（2）的条件下，若点Q是点P关于原点O的对称点，求
面积的取值范围．
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2024-01-22更新
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232次组卷
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2卷引用：河南省郑州市宇华实验学校2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题
名校
解题方法
9 . 设双曲线的左、右焦点分别为
，过坐标原点的直线与交于
两点，
，则的离心率为（ ）
的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与交于两点，，则的离心率为（ ）A． | B．2 | C． | D． |
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2024-01-19更新
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7220次组卷
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10卷引用：2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）数学试题
2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）数学试题2024年九省联考试卷分析及真题鉴赏（已下线）年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）数学试题变式题6-10山东省济南市2023-2024学年高二上学期期末质量检测模拟数学试题（已下线）专题 11 双曲线中与焦点弦有关的离心率问题（已下线）考点14 余弦定理及应用 --2024届高考数学考点总动员【练】广东省中山市中山纪念中学2024届高三下学期开学模拟测试数学试题（一）山西省运城市康杰中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题重庆市西南大学附属中学校2023-2024学年2023-2024学年高二下学期3月测试数学试题福建省厦门双十中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题
名校
解题方法
10 . 已知双曲线
的右焦点为
，且过点
.
(1)求的标准方程；
(2)已知点A为的右顶点，M，N是上异于点A的两个不同点，且
，证明：直线MN过定点，并求出定点坐标.
的右焦点为，且过点.(1)求
的标准方程；(2)已知点A为
的右顶点，M，N是上异于点A的两个不同点，且，证明：直线MN过定点，并求出定点坐标.
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2024-01-15更新
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486次组卷
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2卷引用：湘豫名校联考2023-2024学年高二上学期1月阶段性考试数学试题
