1 . 形如的函数是中学数学常见的函数模型之一，因其图象上半部分像极了老师批阅作业所用的“√”，所以也称为“对勾函数”．研究证明，对勾函数可以看作是焦点在坐标轴上的双曲线绕原点旋转得到，即对勾函数的图象是双曲线，直线是它的一条渐近线．点是双曲线上任意一点，在点处作双曲线的切线，交渐近线于两点，已知为坐标原点，则的面积为（       ）

A．

B．

C．

D．2

2 . 已知函数．
(1)若，求函数的图像在处的切线方程；
(2)若，是函数的两个极值点，求的取值范围，并证明：．

3 . 设，函数，（为自然对数的底数），且函数的图象与函数的图象在处有公共的切线.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）讨论函数的单调性；
（Ⅲ）证明：当时，在区间内恒成立.

4 . 已知函数.
（Ⅰ）判断函数的单调性；
（Ⅱ）求证：.

5 . 设，其中是正常数，且．
（1）求函数的最值；
（2）对任意的正数，是否存在正数，使不等式成立？并说明理由；
（3）设且，证明：对任意正数都有．

6 . 已知函数（）．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若不等式对任意恒成立．
①求实数的取值范围；
②试比较与的大小，并给出证明（为自然对数的底数，）．

7 . 已知函数，对任意的，满足，其中，为常数.
（1）若的图象在处的切线经过点，求的值；
（2）已知，求证：；
（3）当存在三个不同的零点时，求的取值范围.