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1 . 我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”,即可将有序复数对视为一个向量,记作.类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算;两个复向量,的数量积记作,定义为;复向量的模定义为.
(1)设,,求复向量与的模;
(2)已知对任意的实向量与,都有,当且仅当与平行时取等号;
①求证:对任意实数a,b,c,d,不等式成立,并写出此不等式的取等条件;
②求证:对任意两个复向量与,不等式仍然成立;
(3)当时,称复向量与平行.设,,,若复向量与平行,求复数z的值.
(1)设,,求复向量与的模;
(2)已知对任意的实向量与,都有,当且仅当与平行时取等号;
①求证:对任意实数a,b,c,d,不等式成立,并写出此不等式的取等条件;
②求证:对任意两个复向量与,不等式仍然成立;
(3)当时,称复向量与平行.设,,,若复向量与平行,求复数z的值.
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2 . 对于非空集合,定义其在某一运算(统称乘法)“×”下的代数结构称为“群”,简记为.而判断是否为一个群,需验证以下三点:
1.(封闭性)对于规定的“×”运算,对任意,都须满足;
2.(结合律)对于规定的“×”运算,对任意,都须满足;
3.(恒等元)存在,使得对任意,;
4.(逆的存在性)对任意,都存在,使得.
记群所含的元素个数为,则群也称作“阶群”.若群的“×”运算满足交换律,即对任意,,我们称为一个阿贝尔群(或交换群).
(1)证明:所有实数在普通加法运算下构成群;
(2)记为所有模长为1的复数构成的集合,请找出一个合适的“×”运算使得在该运算下构成一个群,并说明理由;
(3)所有阶数小于等于四的群是否都是阿贝尔群?请说明理由.
1.(封闭性)对于规定的“×”运算,对任意,都须满足;
2.(结合律)对于规定的“×”运算,对任意,都须满足;
3.(恒等元)存在,使得对任意,;
4.(逆的存在性)对任意,都存在,使得.
记群所含的元素个数为,则群也称作“阶群”.若群的“×”运算满足交换律,即对任意,,我们称为一个阿贝尔群(或交换群).
(1)证明:所有实数在普通加法运算下构成群;
(2)记为所有模长为1的复数构成的集合,请找出一个合适的“×”运算使得在该运算下构成一个群,并说明理由;
(3)所有阶数小于等于四的群是否都是阿贝尔群?请说明理由.
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3 . 设为正整数,若满足:①,,2,…,;②对于,均有.则称具有性质.对于和,定义集合.
(1)设,若具有性质,写出一个及相应的;
(2)设和具有性质,那么是否可能为,若可能,写出一组和,若不可能,说明理由;
(3)设和具有性质,对于给定的,求证:满足的有偶数个.
(1)设,若具有性质,写出一个及相应的;
(2)设和具有性质,那么是否可能为,若可能,写出一组和,若不可能,说明理由;
(3)设和具有性质,对于给定的,求证:满足的有偶数个.
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4 . 设为正整数,区间(其中,)同时满足下列两个条件:①对任意,存在使得;②对任意,存在,使得,其中表示除外的个集合的并集.
(1)若,判断以下两个数列是否满足条件:①;②?(结论不需要证明)
(2)求的最小值;
(3)判断是否存在最大值,若存在,求的最大值;若不存在,说明理由.
(1)若,判断以下两个数列是否满足条件:①;②?(结论不需要证明)
(2)求的最小值;
(3)判断是否存在最大值,若存在,求的最大值;若不存在,说明理由.
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2020-07-16更新
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430次组卷
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2卷引用:上海市复旦附中2020届高三下学期期末数学试题
5 . 已知数列是无穷数列,满足.
(1)若,,求,,的值;
(2)求证:“数列中存在使得”是“数列中有无数多项是1”的充要条件;
(3)求证:存在正整数k,使得.
(1)若,,求,,的值;
(2)求证:“数列中存在使得”是“数列中有无数多项是1”的充要条件;
(3)求证:存在正整数k,使得.
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2020-09-13更新
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1021次组卷
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3卷引用:2020届北京市中国人民大学附属中学高三上学期期中模拟统练(七)数学试题
2020届北京市中国人民大学附属中学高三上学期期中模拟统练(七)数学试题上海市复旦大学附属中学青浦分校2020届高三下学期开学摸底数学试题(已下线)专题15 数列不等式的证明 微点6 数列不等式的证明综合训练
6 . 已知函数.
(1)若.证明函数有且仅有两个零点;
(2)若函数存在两个零点,证明:.
(1)若.证明函数有且仅有两个零点;
(2)若函数存在两个零点,证明:.
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7 . 已知有穷数列A:(且).定义数列A的“伴生数列”B:,其中(),规定,.
(1)写出下列数列的“伴生数列”:
①1,2,3,4,5;
②1,,1,,1.
(2)已知数列B的“伴生数列”C:,,…,,…,,且满足(,2,…,n).
(i)若数列B中存在相邻两项为1,求证:数列B中的每一项均为1;
(ⅱ)求数列C所有项的和.
(1)写出下列数列的“伴生数列”:
①1,2,3,4,5;
②1,,1,,1.
(2)已知数列B的“伴生数列”C:,,…,,…,,且满足(,2,…,n).
(i)若数列B中存在相邻两项为1,求证:数列B中的每一项均为1;
(ⅱ)求数列C所有项的和.
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8 . 已知数列满足:对任意的,若,则,且,设集合,集合中元素最小值记为,集合中元素最大值记为.
(1)对于数列:,写出集合及;
(2)求证:不可能为18;
(3)求的最大值以及的最小值.
(1)对于数列:,写出集合及;
(2)求证:不可能为18;
(3)求的最大值以及的最小值.
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19-20高二下·上海浦东新·阶段练习
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解题方法
9 . (1)在圆中有这样的结论:对圆上任意一点,设、是圆和轴的两交点,且直线和的斜率都存在,则它们的斜率之积为定值-1.试将该结论类比到椭圆,并给出证明.
(2)已知椭圆,,,设直线与椭圆交于不同于、的两点、,记直线、、的斜率分别为、、.
(ⅰ)若直线过定点,则是否为定值.若是,请证明;若不是,请说明理由.
(ⅱ)若,求所有整数,使得直线变化时,总有.
(2)已知椭圆,,,设直线与椭圆交于不同于、的两点、,记直线、、的斜率分别为、、.
(ⅰ)若直线过定点,则是否为定值.若是,请证明;若不是,请说明理由.
(ⅱ)若,求所有整数,使得直线变化时,总有.
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10 . 对于无穷数列,若,,则称数列是数列的“收缩数列”,其中分别表示中的最大项和最小项,已知数列的前n项和为,数列是数列的“收缩数列”
(1)若求数列的前n项和;
(2)证明:数列的“收缩数列”仍是;
(3)若,求所有满足该条件的数列.
(1)若求数列的前n项和;
(2)证明:数列的“收缩数列”仍是;
(3)若,求所有满足该条件的数列.
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2020-09-03更新
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1073次组卷
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4卷引用:2020届上海市青浦区高三二模数学试题