1 . 已知数列是无穷数列，满足.
（1）若，，求，，的值；
（2）求证：“数列中存在使得”是“数列中有无数多项是1”的充要条件；
（3）求证：存在正整数k，使得.

2 . 设为正整数，区间（其中，）同时满足下列两个条件：①对任意，存在使得；②对任意，存在，使得，其中表示除外的个集合的并集.
（1）若，判断以下两个数列是否满足条件：①；②？（结论不需要证明）
（2）求的最小值；
（3）判断是否存在最大值，若存在，求的最大值；若不存在，说明理由.

3 . 已知数列满足：对任意的，若，则，且，设集合，集合中元素最小值记为，集合中元素最大值记为．
（1）对于数列：，写出集合及；
（2）求证：不可能为18；
（3）求的最大值以及的最小值．

4 . 已知有穷数列A：（且）.定义数列A的“伴生数列”B：，其中（），规定，.
（1）写出下列数列的“伴生数列”：
①1，2，3，4，5；
②1，，1，，1.
（2）已知数列B的“伴生数列”C：，，…，，…，，且满足（，2，…，n）.
（i）若数列B中存在相邻两项为1，求证：数列B中的每一项均为1；
（ⅱ）求数列C所有项的和.

5 . 已知集合，且中的元素个数大于等于5.若集合中存在四个不同的元素，使得，则称集合是“关联的”，并称集合是集合的“关联子集”；若集合不存在“关联子集”，则称集合是“独立的”.
分别判断集合和集合是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有的关联子集；
已知集合是“关联的”，且任取集合，总存在的关联子集，使得.若，求证：是等差数列；
集合是“独立的”，求证：存在，使得.

6 . 设是一个由和构成的行列的数表，且中所有数字之和不小于，所有这样的数表构成的集合记为，记为的第行各数之和，为的第列各数之和，为、、，、、、、中的最大值.
（1）对如下数表，求的值；（2）设数表，求的最小值；
（3）已知为正整数，对于所有的，，且的任意两行中最多有列各数之和为，求的值.

7 . 容器中有种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成另外一种粒子. 例如，一颗粒子和一颗粒子发生碰撞则变成一颗粒子.现有粒子颗，粒子颗，粒子颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩颗粒子. 给出下列结论：
① 最后一颗粒子可能是粒子                    
② 最后一颗粒子一定是粒子
③ 最后一颗粒子一定不是粒子             
④ 以上都不正确
其中正确结论的序号是________.（写出所有正确结论的序号）

8 . 数列
满足：或1（k=1,2,…,n－1）．
对任意i，j，都存在s，t，使得，其中i，j，s，t∈{1,2，…，n}且两两不相等．
（1）若m=2，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号；
①1,1,1,2,2,2；                  ②1,1,1,1,2,2,2,2；                 ③1,1,1,1,1,2,2,2,2
（2）记．若m=3，求S的最小值；
（3）若m=2018，求n的最小值．

9 . 设和是两个等差数列，记，
其中表示这个数中最大的数．
（Ⅰ）若，，求的值，并证明是等差数列；
（Ⅱ）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列．

10 . 若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质.
（1）若具有性质，且，，求；
（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，判断是否具有性质，并说明理由；
（3）设是无穷数列，已知.求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.