1 . 已知椭圆的离心率为，直线截椭圆所得的弦长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线与轴交于点为粗圆上的两个动点、且均位于第一象限（不在直线上），直线、分别交椭圆于两点，直线分别交直线于两点.
①设，试用表示的坐标；
②求证：为线段的中点.

2 . 已知抛物线与椭圆有公共的焦点.

(1)求抛物线的标准方程.
(2)如图，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于点，点，直线AP，BP分别与抛物线交于点.证明：
①直线CD过定点；
②与的面积之比为定值.

3 . 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面与底面所成的角为，为的中点．

(1)求证：平面；
(2)若为的内心，求直线与平面所成角的正弦值．

4 . 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面面，，，为的中点.

(1)求证：面面；
(2)若二面角的大小为，求与面所成角的正弦值；
(3)若平面与平面所成的锐二面角大小为，求四棱锥的体积.

5 . 已知双曲线C：的右焦点为，过F且斜率为的直线交C于A，B两点，且当时，A的横坐标为3.
(1)求C的方程；
(2)设O为坐标原点，过A且平行于x轴的直线与直线交于点D，P为线段的中点，直线交于点Q，证明：.

6 . 已知椭圆，其上顶点为；
(1)若直线与椭圆交于、两点，求证：为定值；
(2)由椭圆上不同三点构成的三角形称为椭圆的内接三角形，现以为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形，求内接等腰直角三角形的个数．

7 . 如图，已知椭圆，长轴长为6，离心率为，过椭圆右焦点作斜率不为0的直线交椭圆于、，过作垂直于直线，连接.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)证明：直线过定点，并求出定点坐标.

8 . 如图，已知椭圆（）的左，右顶点分别为，，椭圆的长轴长为4，椭圆上的点到焦点的最大距离为，为坐标原点.

   

(1)求椭圆的方程；
(2)设过点的直线，与椭圆分别交于点，，其中，
①证明：直线过定点，并求出定点坐标；
②求面积的最大值.

9 . 已知椭圆：离心率，且经点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆C右焦点的直线l交椭圆于A，B两点，交直线于点D，且，设直线，，的斜率分别为，，，若，证明为定值．

10 . 已知椭圆，离心率，左、右顶点与上顶点围成的三角形的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)为椭圆上异于椭圆右顶点的四个不同的点，直线、直线均不与坐标轴垂直，直线过点且与直线垂直，，证明：直线和直线的交点在一个定圆上.