1 . 在平面直角坐标系中,已知椭圆的左、右焦点为.
(1)若直线与轴相交于点，到直线的距离为，求；
(2)若，点为椭圆上的任意一点，设椭圆的上、下顶点分别为 ,记的面积为，的面积为,若,求的取值范围；
(3)若，过点的直线与椭圆交于两点（在的上方），线段上存在点，使得，求的最小值．

2 . 已知实数，曲线与曲线的公共点个数为，对于不同的，所有可能的值的集合为________.

3 . 已知双曲线的右顶点为是双曲线上两点，过作斜率为的直线，与双曲线只有点这一个交点.
(1)求双曲线的方程；
(2)若是以为直角顶点的等腰直角三角形，求的面积；
(3)已知点和双曲线上两动点，满足，过点作于点，证明：点在一个定圆上，并求定圆的方程.

4 . 平面上，直线和相交于点，它们的夹角为.已知动点到直线与的距离之积为定值，动点的轨迹记为曲线.我们以为坐标原点，以直线与夹角的平分线为轴，建立直角坐标系，如图.
   
(1)求曲线的方程；
(2)当，时，直线与曲线顺次交于A、B、C、D四点，求证：；
(3)当，时，是否存在直线与曲线只有A、B、C三个不同公共点（点B在线段上），使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

5 . 某苗圃有两个入口A、B，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物，现有150株树苗放在P处，已知，，以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立直角坐标系．计划将树苗种在以，，，为顶点的矩形内呈15列10行等距排列．
   
(1)种在点处的树苗应通过哪个入口运输路程较短？
(2)能否在苗圃内确定一条界线，使位于界线一侧的树苗沿PA运输较近，而另一侧的树苗沿PB运输较近？若能，求出这条界线；若不能，说明理由．
(3)有多少株树苗沿PB运输较近？

6 . 已知直线与椭圆有且只有一个公共点.

(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在实数，使椭圆上存在不同两点、关于直线对称？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由；
(3)椭圆的内接四边形的对角线与垂直相交于椭圆的左焦点，是四边形的面积，求的最小值.

7 . 平面两点，的坐标分别满足和.为坐标原点，已知，且，.若存在，使得，则正实数的值为______________.

8 . 高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A，B，定义且，将称为“A与B的笛卡尔积”
(1)若，，求和；
(2)试证明：“”是“”的充要条件；
(3)若集合是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件.

9 . 设，已知椭圆的方程为，双曲线的方程为，把合称为曲线.
(1)若的离心率为，求的离心率；
(2)若，为上一动点， 为定点， 求的最小值;
(3)若，为上一动点， 为上一动点，且，问是否为定值?如果是，求出该定值，如果不是，请说明理由.

10 . 如图，棱长为1的正方体的八个顶点分别为，记正方体12条棱的中点分别为，6个面的中心为，正方体的中心为.记，，其中是正方体的体对角线.则________.