1 . 如图，在中，，于现将沿折叠，使为直二面角如图，是棱的中点，连接、、．

(1)证明：平面平面；
(2)若，且棱上有一点满足，求二面角的正弦值．

2 . 设，为椭圆的左、右两个焦点，为椭圆上一点，且，．
(1)求的值；
(2)若直线：与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线经过点，证明：为定值．

3 . 已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为．
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)过轨迹上一个定点引它的两条弦，，若直线，的斜率存在，且直线的斜率为证明：直线，的倾斜角互补．

4 . 如图，在三棱柱中，侧面为菱形，底面，.
   
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.

5 . 已知椭圆C：的焦距为，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知，E为直线上一纵坐标不为0的点，且直线DE交C于H，G两点，证明：.

6 . 如图，已知椭圆()的左右焦点分别为，，点为上的一个动点(非左右顶点)，连接并延长交于点，且的周长为，面积的最大值为2．
   
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆的长轴端点为，且与的离心率相等，为与异于的交点，直线交于两点，证明：为定值．

7 . 已知椭圆C：，，为椭圆C的左、右顶点，，为左、右焦点，Q为椭圆C上任意一点.
(1)求直线和的斜率之积；
(2)直线l交椭圆C于点M，N两点（l不过点），直线与直线的斜率分别是，且，直线和直线交于点.
①探究直线l是否过定点，若过定点求出该点坐标，若不过定点请说明理由；
②证明：为定值，并求出该定值.

8 . 如图，三棱柱中，侧面为矩形，且，为的中点，．
   
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值．

9 . 已知，．
(1)证明：当，是的不必要不充分条件；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．

10 . 如图所示，在直四棱柱中，，，，，.

   

(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.