1 . 已知双曲线的实轴长为，C的一条渐近线斜率为，直线l交C于P，Q两点，点在双曲线C上.
(1)若直线l过C的右焦点，且斜率为，求的面积；
(2)设P，Q为双曲线C上异于点的两动点，记直线MP，MQ的斜率分别为，，若，求证：直线PQ过定点.

2 . 如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形．，点D为棱AC上动点(不与A，C重合)，平面B₁BD与棱A₁C₁交于点E．

(1)求证：；
(2)若，平面ABC⊥平面，，求直线BC与平面B₁BDE所成角的正弦值．

3 . 如图，在四棱锥中，底面是菱形，与交于点，，，，平面平面，为线段上的一点．

(1)证明：平面；
(2)当与平面所成的角的正弦值最大时，求平面与平面夹角的余弦值．

4 . 已知双曲线的离心率为2，且双曲线C经过点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设M是直线上任意一点，过点M作双曲线C的两条切线，，切点分别为A，B，试判断直线AB是否过定点．若经过定点，求出该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由．

5 . 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，.

(1)求证：；
(2)若平面平面PBC，且中，AD边上的高为3，求AD的长.

6 . 已知抛物线的焦点为F，直线交抛物线E于A，B两点，当直线过点F时，点A，B到E的准线的距离之和为12，线段AB的中点到y轴的距离是4．
(1)求抛物线E的方程；
(2)当时，设线段AB的中点为M，在x轴上是否存在点N，使得为定值？若存在，求出该定值；若不存在，说明理由．

7 . 椭圆的左，右焦点分别为，，且椭圆过点，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若点是椭圆上任一点，则该椭圆在点处的切线方程为.已知是椭圆上除顶点之外的任一点，椭圆在点处的切线和过点垂直于该切线的直线分别与轴交于点、.
（i）求证：.
（ii）在椭圆上是否存在点，使得的面积等于1，如果存在，试求出点坐标，若不存在，请说明理由.

8 . 如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，为的中点，.

(1)证明：平面平面.
(2)若，且二面角的大小为，求四棱锥的体积.

9 . 在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，.

(1)证明：平面ABCD；
(2)若，在棱PC上是否存在点M，使直线AM与平面PBC所成角的正弦值为？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由.

10 . 如图，在四棱锥中，底面，四边形是正方形，且，是棱上的动点，是线段的中点.

(1)求证：平面；
(2)是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的余弦值为 ?若存在，请求出线段的长；若不存在，请说明理由.