1 . 如图，已知四棱锥的底面是边长为的正方形，，，是侧棱上的动点．

（1）若为的中点，证明平面；
（2）求证：不论点在何位置，都有；
（3）在（1）的条件下，求二面角的大小．

2 . 如图，三棱锥中，平面，点满足.

(1)证明：平面ABC；
(2)点在上，且，求直线PA与平面PCD所成角的正弦值.

3 . 如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，平面，过的平面交平面于，．
   
(1)证明：平面；
(2)若平面平面，，四棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值.

4 . 在矩形中，，（如图1），将沿折起到的位置，使得点在平面上的射影在边上，连结（如图2）．
   
(1)证明：；
(2)过直线的平面与平行，求平面与平面夹角的余弦值．

5 . 如图，三棱台中，侧面四边形为等腰梯形，底面三角形为正三角形，且.设为棱上的点.

(1)若为的中点，求证：；
(2)若三棱台的体积为，且侧面底面，试探究是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.

6 . 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，，且点分别为和中点.
   
(1)求证：直线平面；
(2)求与平面所成角的正弦值.

7 . 如图，在圆锥中，为圆锥顶点，为圆锥底面的直径，为底面圆的圆心，为底面圆周上一点，四边形为矩形．

(1)求证：平面平面；
(2)若，，，求平面和平面夹角的余弦值.

8 . 如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD＝2，
   
(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；
(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D－AE－C的余弦值．

9 . 如图，在四棱锥中，平面平面分别为线段的中点．

(1)证明：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．

10 . 已知平行四边形如图甲，，，沿将折起，使点到达点位置，且，连接得三棱锥，如图乙.

(1)证明：平面平面；
(2)在线段上是否存在点，使二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.