名校
1 . 如图，在三棱柱
中，
平面
，
，
，
，
分别为
，
，
，
的中点，
，
.
平面
；
(2)求平面
与直线
所成角的正弦值；
(3)证明：直线
与平面相交.
中，平面，，，，分别为，，，的中点，，.
平面；(2)求平面
与直线所成角的正弦值；(3)证明：直线
与平面相交.
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2 . 如图所示，四边形
为梯形，
，
，
，以为一条边作矩形
，且
，平面
平面．
；
(2)甲同学研究发现并证明了这样一个结论：如果两个平面所成的二面角为
，其中一个平面内的图形在另一个平面上的正投影为
，它们的面积分别记为
和
，则
．乙同学利用甲的这个结论，发现在线段
上存在点
，使得
．请你对乙同学发现的结论进行证明．
为梯形，，，，以为一条边作矩形，且，平面平面．
；(2)甲同学研究发现并证明了这样一个结论：如果两个平面所成的二面角为
，其中一个平面内的图形在另一个平面上的正投影为，它们的面积分别记为和，则．乙同学利用甲的这个结论，发现在线段上存在点，使得．请你对乙同学发现的结论进行证明．
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2024高三·全国·专题练习
3 . 如图，在四棱锥
中，侧棱
平面BCDE，底面四边形BCDE是矩形，
，点P，M分别为棱AE，AC的中点，点F在棱BE上．
(1)若
，求证：直线
平面
(2)若
，从下面①②两个条件中选取一个作为已知，证明另外一个成立．
①平面ADE与平面ABC的交线为直线l，l与直线CF成角的余弦值为
②二面角
的余弦值为
中，侧棱平面BCDE，底面四边形BCDE是矩形，，点P，M分别为棱AE，AC的中点，点F在棱BE上．(1)若
，求证：直线平面(2)若
，从下面①②两个条件中选取一个作为已知，证明另外一个成立．①平面ADE与平面ABC的交线为直线l，l与直线CF成角的余弦值为
②二面角
的余弦值为
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4 . 如图，在三棱柱中，平面
平面
，边长为8的正方形，
.
(1)求证：
平面；
(2)求二面角
的余弦值；
(3)证明：在线段
上存在点，使得
，并求
的值.
中，平面平面，边长为8的正方形，. (1)求证：
平面；(2)求二面角
的余弦值；(3)证明：在线段
上存在点，使得，并求的值.
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5 . 已知，图中直棱柱
的底面是菱形，其中
.又点
分别在棱
上运动，且满足：
，
.
(1)求证：四点共面，并证明
平面
；
(2)是否存在点
使得二面角
的余弦值为
？如果存在，求出
的长；如果不存在，请说明理由.
的底面是菱形，其中.又点分别在棱上运动，且满足：，.(1)求证：
四点共面，并证明平面；(2)是否存在点
使得二面角的余弦值为？如果存在，求出的长；如果不存在，请说明理由.
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解题方法
6 . （1）写出点
到直线
（
不全为零）的距离公式;
（2）当不在直线l上，证明到直线
距离公式.
（3）在空间解析几何中，若平面
的方程为：
（
不全为零），点
，试写出点P到面的距离公式（不要求证明）
到直线（不全为零）的距离公式;（2）当
不在直线l上，证明到直线距离公式.（3）在空间解析几何中，若平面
的方程为：（不全为零），点，试写出点P到面的距离公式（不要求证明）
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2023-12-15更新
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94次组卷
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2卷引用：湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题
解题方法
7 . 如图，在棱长均相等的平行六面体中，用空间向量证明下列结论．
(1)若
，求证：
平面
；
(2)若是棱的中点，是
上靠近点
的三等分点，求证：
三点共线．
中，用空间向量证明下列结论．(1)若
，求证：平面；(2)若
是棱的中点，是上靠近点的三等分点，求证：三点共线．
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8 . 如图，在三棱柱中，是边长为4的正方形．平面平面，
．
(1)求证：
；
(2)求二面角的余弦值；
(3)证明：在线段存在点D，使得，并求的值．
中，是边长为4的正方形．平面平面，．(1)求证：
；(2)求二面角
的余弦值；(3)证明：在线段
存在点D，使得，并求的值．
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解题方法
9 . 如图，在四棱锥
中，四边形是矩形，
是正三角形，且平面
平面，
，为棱
的中点，四棱锥的体积为
.
(1)若为棱
的中点，求证：
平面
；
(2)在棱
上是否存在点，使得直线与平面
所成角的正弦值为
？若存在，求出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.
中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为.(1)若
为棱的中点，求证：平面；(2)在棱
上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.
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10 . （如图（1）平面五边形
是由边长为2的正方形与上底为1，高为
的直角梯形
组合而成，将五边形
沿着
折叠，得到图（2）所示的空间几何体，其中
.
(1)证明：
平面
；
(2)求证：
平面
；
(3)求二面角
的余弦值.
是由边长为2的正方形与上底为1，高为的直角梯形组合而成，将五边形沿着折叠，得到图（2）所示的空间几何体，其中.(1)证明：
平面；(2)求证：
平面；(3)求二面角
的余弦值.
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