1 . 已知函数．
(1)证明函数有唯一极小值点；
(2)若，求证：．

2 . 设函数.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)曲线与直线交于，两点，求证：；
(3)证明：.

3 . 已知数列为数列的前n项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：；
(3)证明：．

4 . 曲线的曲率定义如下：若是的导函数，令，则曲线在点处的曲率．已知函数，，且在点处的曲率．
（1）求的值，并证明：当时，；
（2）若，且，求证：．

5 . 已知函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明：；
（3）求证：对任意正整数，都有（其中，为自然对数的底数）.

6 . 已知定义域为的函数（，）
（1）设，求的单调区间；
（2）设为导数，
（i）证明：当，时，；
（ii）设关于的方程的根为，求证：

7 . 如图所示，点为斜三棱柱的侧棱上一点，交于点，交于点．

（1）求证：；
（2）在任意中有余弦定理：．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．

8 . 已知函数，．
（Ⅰ）设（其中是的导函数），求的最大值；
（Ⅱ）证明: 当时，求证：；
（Ⅲ）设,当时,不等式恒成立,求的最大值．

9 . 已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设，求证：当时，恰有两个零点.

10 . 已知函数在处的切线方程为，且对任意，都有恒成立.
(1)求函数在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积；
(2)求证：；
(3)若，求正整数的最小值.