解题方法
1 . （1）求证：
能被
整除；
（2）求
除以
的余数.
能被整除；（2）求
除以的余数.
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2024·云南红河·二模
解题方法
2 . 某网络购物平台专营店统计了某年2月15日至19日这5天在该店购物的人数
（单位：人）的数据如下表：
(1)根据表中数据，建立关于
的一元线性回归模型，并根据该回归模型预测当年2月21日在该店购物的人数（人数用四舍五入法取整数）；
(2)为了了解参加网购人群的年龄分布，该店随机抽取了200人进行问卷调查.得到如下所示不完整的
列联表：
将列联表补充完整，并依据表中数据及小概率值
的独立性检验，能否认为“参与网上购物”与“年龄”有关.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
（单位：人）的数据如下表：日期 | 2月15日 | 2月16日 | 2月17日 | 2月18日 | 2月19日 |
日期代号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
购物人数 | 77 | 84 | 93 | 96 | 100 |
关于的一元线性回归模型，并根据该回归模型预测当年2月21日在该店购物的人数（人数用四舍五入法取整数）；(2)为了了解参加网购人群的年龄分布，该店随机抽取了200人进行问卷调查.得到如下所示不完整的
列联表：| 年龄 | 不低于40岁 | 低于40岁 | 合计 |
参与过网上购物 | 30 | 150 | |
未参与过网上购物 | 30 | ||
合计 | 200 |
的独立性检验，能否认为“参与网上购物”与“年龄”有关.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
 | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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3 . 甲、乙等6人去
三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人游览，若甲、乙两人不去同一景区游览，则不同的游览方法的种数为（ ）
三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人游览，若甲、乙两人不去同一景区游览，则不同的游览方法的种数为（ ）| A．342 | B．390 | C．402 | D．462 |
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2024-04-20更新
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2093次组卷
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5卷引用：云南省昆明市部分学校2024届高三下学期二模考试数学试题
4 . 某射击小组有甲、乙两名运动员，其中甲、乙二人射击成绩优秀的概率分别为
，且两人射击成绩是否优秀相互独立．
(1)若甲、乙两人各射击一次，求至多1人射击成绩优秀的概率；
(2)在一次训练中，甲、乙各连续射击10次，甲击中环数的平均数为7.8，方差为1.6，乙击中环数的平均数为8.2，方差为2.8，求两人在这20次射击中击中环数的方差．
，且两人射击成绩是否优秀相互独立．(1)若甲、乙两人各射击一次，求至多1人射击成绩优秀的概率；
(2)在一次训练中，甲、乙各连续射击10次，甲击中环数的平均数为7.8，方差为1.6，乙击中环数的平均数为8.2，方差为2.8，求两人在这20次射击中击中环数的方差．
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解题方法
5 . 如图，一个质点从原点O出发，每隔一秒随机、等可能地向左或向右移动一个单位，共移动六次．质点位于4的位置的概率为__________ ；在质点第一秒位于1的位置的条件下，该质点共经过两次3的位置的概率为__________ ．
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6 . 某企业响应国家“强芯固基”号召，为汇聚科研力量，准备科学合理增加研发资金．为
了解研发资金的投入额x（单位：千万元）对年收入的附加额y（单位：千万元）的影响，对2017年至2023年研发资金的投入额
和年收入的附加额
进行研究，得到相关数据如下：
(1)求y关于x的线性回归方程；
(2)若年收入的附加额与投入额的比值大于
，则称对应的年份为“优”，从上面的7个年份中任意取3个，记X表示这三个年份为“优”的个数，求X的分布列及数学期望．
参考数据：
，
，
．
附：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
．
了解研发资金的投入额x（单位：千万元）对年收入的附加额y（单位：千万元）的影响，对2017年至2023年研发资金的投入额
和年收入的附加额进行研究，得到相关数据如下：年份 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 | 2022 | 2023 |
投入额 | 10 | 30 | 40 | 60 | 80 | 90 | 110 |
年收入的附加额 |
|
|
|
| 7．30 |
|
|
(2)若年收入的附加额与投入额的比值大于
，则称对应的年份为“优”，从上面的7个年份中任意取3个，记X表示这三个年份为“优”的个数，求X的分布列及数学期望．参考数据：
，，．附：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，．
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名校
7 . 数学中有这么一个定理：喝醉的酒鬼总能找到回家的路，喝醉的小鸟则可能永远也回不了家.这个定理数学家波利亚在1921年给出证明，它与随机游走有关，随机游走是概率论中的一个重要概念，它描述了一个在空间中随机移动的过程，随机游走最简单的形式是一维随机游走，即一个点在数轴上以一定的概率向左或向右移动，如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，记移动k次后质点回到原点位置的概率为
，其中k为偶数.
(1)求
，
，
；
(2)证明：
.
，其中k为偶数.(1)求
，，；(2)证明：
.
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名校
8 . 为建设“书香校园”，学校图书馆对所有学生开放图书借阅，可借阅的图书分为“期刊杂志”与“文献书籍”两类.已知该校小明同学的图书借阅规律如下：第一次随机选择一类图书借阅，若前一次选择借阅“期刊杂志”，则下次也选择借阅“期刊杂志”的概率为
，若前一次选择借阅“文献书籍”，则下次选择借阅“期刊杂志”的概率为
.
(1)设小明同学在两次借阅过程中借阅“期刊杂志”的次数为X，求X的分布列与数学期望；
(2)若小明同学第二次借阅“文献书籍”，试分析他第一次借哪类图书的可能性更大，并说明理由.
，若前一次选择借阅“文献书籍”，则下次选择借阅“期刊杂志”的概率为.(1)设小明同学在两次借阅过程中借阅“期刊杂志”的次数为X，求X的分布列与数学期望；
(2)若小明同学第二次借阅“文献书籍”，试分析他第一次借哪类图书的可能性更大，并说明理由.
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2024-04-07更新
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1444次组卷
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4卷引用：云南省昆明市部分学校2024届高三下学期二模考试数学试题
名校
9 . 为了了解居家学习期间性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，某校随机抽取了
名学生进行调查，按照性别和体育锻炼情况整理出如下的列联表：
常用的小概率值和相应的临界值如下表：
注：
独立性检验中，
，
．
根据这些数据，判断下列说法正确的是（ ）
名学生进行调查，按照性别和体育锻炼情况整理出如下的列联表：性别 | 锻炼情况 | 合计 | |
不经常 | 经常 | ||
女生/人 | 5 | 30 | 35 |
男生/人 | 5 | 10 | 15 |
合计/人 | 10 | 40 | 50 |
| 0.1 | 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
独立性检验中，，．根据这些数据，判断下列说法正确的是（ ）
| A．依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响 |
| B．依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响 |
C．根据小概率值 的独立性检验，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响，这个推断犯错误的概率不超过0.05 |
| D．根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断性别对体育锻炼的经常性有影响，因此可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响 |
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10 . 小华玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有1～10的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次取到号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次取到号码大于5的小球，则前进2步．每次抽取小球互不影响，记小华一共前进
步的概率为
，则下列说法正确的是（ ）
步的概率为，则下列说法正确的是（ ）A． | B． |
C． （ ） | D．小华一共前进2步的概率最大 |
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