名校
解题方法
1 . 一座城市的夜间经济不仅有助于拉动本地居民内需，还能延长外地游客、商务办公者等的留存时间，带动当地经济发展，是衡量一座城市生活质量、消费水平、投资环境及文化发展活力的重要指标．数据显示，近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模保持稳定增长，下表为2017—2022年中国夜间经济的市场发展规模（单位：万亿元），其中2017—2022年对应的年份代码依次为1~6．
(1)已知可用函数模型
拟合
与
的关系，请建立关于的回归方程（
的值精确到0.01）；
(2)某传媒公司预测2023年中国夜间经济的市场规模将达到48.1万亿元，现用（1）中求得的回归方程预测2023年中国夜间经济的市场规模，若两个预测规模误差不超过1万亿元，则认为（1）中求得的回归方程是理想的，否则是不理想的，判断（1）中求得的回归方程是否理想．参考数据：
其中
．
参考公式：对于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
．
| 年份代码 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
中国夜间经济的市场发展规模 万亿元 | 20.5 | 22.9 | 26.4 | 30.9 | 36.4 | 42.4 |
拟合与的关系，请建立关于的回归方程（的值精确到0.01）；(2)某传媒公司预测2023年中国夜间经济的市场规模将达到48.1万亿元，现用（1）中求得的回归方程预测2023年中国夜间经济的市场规模，若两个预测规模误差不超过1万亿元，则认为（1）中求得的回归方程是理想的，否则是不理想的，判断（1）中求得的回归方程是否理想．参考数据：
 |  |  |  |  |
| 3.366 | 73.282 | 17.25 | 1.16 | 2.83 |
．参考公式：对于一组数据
，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
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2023-11-30更新
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1646次组卷
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12卷引用：福建省三明市第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
福建省三明市第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（已下线）2024年普通高等学校招生全国统一考试文科数学领航卷（三）（已下线）第十一章 数学建模（高三一轮）（已下线）第二篇 “搞定”解答题前3个 专题3 概率统计解答题【练】 高三逆袭之路突破90分河北省保定市唐县第二中学2024届高三上学期12月月考数学试题（已下线）专题13 统计（5大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关）-2（已下线）考点16 回归模型 2024届高考数学考点总动员（已下线）7.2成对数据的线性相关性（分层练习）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第一册）（已下线）第5讲：成对数据的统计分析（非线性回归）【讲】（已下线）第八章 成对数据的统计分析（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第二册）（已下线）第04讲 拓展一：数学建模 建立统计模型进行预测（非线性回归模型）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）9．1 线性回归分析（2）
名校
2 . 下表是某单位在2023年1~5月份用水量（单位：百吨）的一组数据：
(1)从这5个月中任取2个月的用水量，求所取2个月的用水量之和不超过7（单位：百吨）的概率；
(2)若由经验回归方程得到的预测数据与实际数据的误差不超过0.05，视为“预测可靠”，那么由该单位前4个月的数据所得到的经验回归方程预测5月份的用水量是否可靠?说明理由．
参考公式：对于一组数据
，
，
，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
．
月份x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
用水量y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 | 5.2 |
(2)若由经验回归方程得到的预测数据与实际数据的误差不超过0.05，视为“预测可靠”，那么由该单位前4个月的数据所得到的经验回归方程预测5月份的用水量是否可靠?说明理由．
参考公式：对于一组数据
，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
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解题方法
3 . 三年疫情对我们的学习生活以及各个行业都产生了影响，某房地产开发公司为了回笼资金，提升销售业绩，公司旗下的某个楼盘统一推出了为期7天的优惠活动．负责人用表格记录了推出活动以后每天售楼部到访客户的人次，表格中x表示活动推出的天数，y表示每天来访的人次，根据表格绘制了以下散点图．
表中
，
．
(1)（i）请根据散点图判断，以下两个函数模型
与
（a，b，c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；
（ii）根据（i）的判断结果以及表中的数据，求y关于x的回归方程．
(2)此楼盘共有N套房，其中200套特价房，活动期间共卖出300套房，其中50套特价房，试给出N的估计值（以使得
最大的N的值作为N的估计值，X表示卖出的300套房中特价房的数目）．
附：对于样本
（
，2，…，n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
．
x（天） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
y（人次） | 12 | 22 | 42 | 68 | 132 | 202 | 392 |
|
|
|
|
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4.24 | 870 | 5070 | 134.82 | 140 | 6.96 | 1.78 |
，．(1)（i）请根据散点图判断，以下两个函数模型
与（a，b，c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（ii）根据（i）的判断结果以及表中的数据，求y关于x的回归方程．
(2)此楼盘共有N套房，其中200套特价房，活动期间共卖出300套房，其中50套特价房，试给出N的估计值（以使得
最大的N的值作为N的估计值，X表示卖出的300套房中特价房的数目）．附：对于样本
（，2，…，n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．
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名校
4 . 在隧道施工过程中，若隧道拱顶下沉速率过快，无法保证工程施工的安全性，则需及时调整支护参数．某施工队对正在施工的福州象山隧道工程进行下沉量监控，通过对监控结果进行回归分析，建立前t天隧道拱顶的累加总下沉量z（单位：毫米）与时间t（单位：天）的回归方程，通过回归方程预测是否需要调整支护参数．已知该隧道拱顶下沉的实测数据如表所示：
研究人员制作相应散点图，通过观察，拟用函数
进行拟合．令
，计算得：
，
．
(1)试建立z与t的回归方程，并预测前8天该隧道拱顶的累加总下沉量；（精确到0.1）
(2)已知当拱顶在某个时刻下沉的瞬时速率超过27毫米/天时，支护系统将超负荷，隧道有塌方风险，施工队需要提前一天调整支护参数、试估计最迟在第几天调整支护参数？（精确到整数）
附：①回归直线
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：；
②参考数据：
．
t（单位：天） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
z（单位：毫米） | 0.01 | 0.04 | 0.14 | 0.52 | 1.38 | 2.31 | 4.30 |
进行拟合．令，计算得：，．(1)试建立z与t的回归方程，并预测前8天该隧道拱顶的累加总下沉量；（精确到0.1）
(2)已知当拱顶在某个时刻下沉的瞬时速率超过27毫米/天时，支护系统将超负荷，隧道有塌方风险，施工队需要提前一天调整支护参数、试估计最迟在第几天调整支护参数？（精确到整数）
附：①回归直线
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：；②参考数据：
．
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2023-07-21更新
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385次组卷
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2卷引用：福建省福州第一中学2022-2023学年高二下学期第四学段模块考试（期末）数学试题
解题方法
5 . 某有限公司通过技术革新和能力提升，每月售出的产品数量不断增加，下表为该公司今年
月份售出的产品数量.
(1)试根据样本相关系数
的值判断售出的产品数量（万件）与月份线性相关性强弱（若
，则认为变量和变量高度线性相关）（结果保留两位小数）；
(2)求关于的线性回归方程，并预测该公司
月份售出的产品数量.
参考公式：
，
，
，
.
月份售出的产品数量.| 月份 | 1 | 2 | 3 | 4 |
售出的产品数量 万件 | 6.1 | 6.3 | 6.7 | 6.9 |
的值判断售出的产品数量（万件）与月份线性相关性强弱（若，则认为变量和变量高度线性相关）（结果保留两位小数）；(2)求
关于的线性回归方程，并预测该公司月份售出的产品数量.参考公式：
，，，.
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解题方法
6 . 学生的学习除了在课堂上认真听讲，还有一个重要环节就是课后自主学习，人们普遍认为课后自主学习时间越多学习效果越好.某权威研究机构抽查了部分高中学生，对学生每天花在数学上的课后自主学习时间（分钟）和他们的数学成绩（分）做出了调查，得到一些数据信息并证实了与正相关.“学霸”小李为了鼓励好朋友小王和小张努力学习，拿到了该机构的一份数据表格如下（其中部分数据被污染看不清），小李据此做出了散点图如下，并计算得到
，
，
的方差为350，
的相关系数
（
）.
(1)请根据所给数据求出
的线性经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩；
(2)受到小李的鼓励，小王和小张决定在课后花更多的时间在数学学习上，小张把课后自主学习时间从20分钟增加到60分钟，而小王把课后自主学习时间从60分钟增加到100分钟.经过几个月的坚持，小张的数学成绩从50分提升到90分，但小王的数学成绩却只是从原来的100分提升到了115分.小王觉得很迷惑，课后学习时间每天同样增加了40分钟，为什么自己的成绩仅仅提升了十几分呢，为什么实际成绩跟预测的成绩差别那么大呢？
①请根据你对课后自主学习时间与数学成绩的关系的看法及对一元回归模型的理解，解答小王的疑惑；
②小李为了解答小王的疑惑，想办法拿到了上表中被污染的数据如下.据此，请在上图中补齐散点图，并给出一个合适的经验回归方程类型（不必求出具体方程，不必说明理由）.
附：回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
.
分钟）和他们的数学成绩（分）做出了调查，得到一些数据信息并证实了与正相关.“学霸”小李为了鼓励好朋友小王和小张努力学习，拿到了该机构的一份数据表格如下（其中部分数据被污染看不清），小李据此做出了散点图如下，并计算得到，，的方差为350，的相关系数（）. (1)请根据所给数据求出
的线性经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩；(2)受到小李的鼓励，小王和小张决定在课后花更多的时间在数学学习上，小张把课后自主学习时间从20分钟增加到60分钟，而小王把课后自主学习时间从60分钟增加到100分钟.经过几个月的坚持，小张的数学成绩从50分提升到90分，但小王的数学成绩却只是从原来的100分提升到了115分.小王觉得很迷惑，课后学习时间每天同样增加了40分钟，为什么自己的成绩仅仅提升了十几分呢，为什么实际成绩跟预测的成绩差别那么大呢？
①请根据你对课后自主学习时间与数学成绩的关系的看法及对一元回归模型的理解，解答小王的疑惑；
②小李为了解答小王的疑惑，想办法拿到了上表中被污染的数据如下.据此，请在上图中补齐散点图，并给出一个合适的经验回归方程类型（不必求出具体方程，不必说明理由）.
编号 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
x | 85 | 90 | 100 | 110 | 120 |
y | 113 | 114 | 117 | 119 | 119 |
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
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解题方法
7 . 某企业拟对手机芯片进行科技升级，根据市场调研，得到科技升级投入（亿元）与科技升级直接收益（亿元）的数据统计如下：
根据表格中的数据，当
时，建立了与的两个回归模型：模型①：
；模型②：
；当 
时，确定与满足的线性回归方程为
.
(1)根据下列表格中的数据，比较当 时，模型①、②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型；
（附：刻画回归效果的相关指数
）
(2)为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于
亿元时，国家给予公司补贴亿元，比较根据市场调研科技升级投入
亿元直接收益与投入亿元时科技升级实际收益的预测值的大小；
（附：用最小二乘法求线性回归方程
的系数：
）
(3)科技升级后，芯片的效率
大幅提高，经实际试验得大致服从正态分布
.公司对科技升级团队的奖励方案如下：若芯片的效率不超过
，不予奖励；若芯片的效率超过，但不超过
，每部芯片奖励
元；若芯片的效率超过，每部芯片奖励
元，记
为每部芯片获得的奖励额，求
（精确到
）.
（附：若随机变量
，
，
.）
（亿元）与科技升级直接收益（亿元）的数据统计如下： 序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 2 | 3 | 4 | 6 | 9 | 11 | 13 | 15 | 17 | 19 |
| 13 | 22 | 31 | 42 | 50 | 56 | 58 | 62 | 63 | 65 |
时，建立了与的两个回归模型：模型①：；模型②：；当 时，确定与满足的线性回归方程为.(1)根据下列表格中的数据，比较当
时，模型①、②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型；回归模型 | 模型① | 模型② |
回归方程 |
|
|
|
|
|
）(2)为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于
亿元时，国家给予公司补贴亿元，比较根据市场调研科技升级投入亿元直接收益与投入亿元时科技升级实际收益的预测值的大小；（附：用最小二乘法求线性回归方程
的系数：）(3)科技升级后，芯片的效率
大幅提高，经实际试验得大致服从正态分布.公司对科技升级团队的奖励方案如下：若芯片的效率不超过，不予奖励；若芯片的效率超过，但不超过，每部芯片奖励元；若芯片的效率超过，每部芯片奖励元，记为每部芯片获得的奖励额，求（精确到）. （附：若随机变量
，，.）
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名校
8 . 研究表明，如果温差本大，人们不注意保暖，可能会导致自身受到风寒刺激，增加感冒患病概率，特别是对于几童以及年老体弱的人群，要多加防范某中学数学建模社团成员研究了昼夜温差大小与某小学学生患感冒就诊人数多少之间的关系，他们记录了某六天的温差，并到校医室查阅了这六天中每天学生新增感冒就诊的人数，得到数据如下：
参考数据：
，
(1)已知第一天新增感冒就的学生中有4位男生，从第一天多增的感冒就诊的学生中随机取2位，其中男生人数记为X，若抽取的2人中至少有一位女生的概率为
，求随机变量X的分布列和数学期望；
(2)已知两个变量x与y之间的样本相关系数
，请用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程，据此估计昼夜温差为15
时，该校新增感冒就诊的学生人数. 参考数据： 
，
| 日期 | 第一天 | 第二天 | 第三天 | 第四天 | 第五天 | 第六天 |
昼夜温差x（ ） | 4 | 7 | 8 | 9 | 14 | 12 |
| 新增感就诊人数y（位） |  |  |  |  |  |  |
，(1)已知第一天新增感冒就的学生中有4位男生，从第一天多增的感冒就诊的学生中随机取2位，其中男生人数记为X，若抽取的2人中至少有一位女生的概率为
，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)已知两个变量x与y之间的样本相关系数
，请用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程，据此估计昼夜温差为15时，该校新增感冒就诊的学生人数. 参考数据： ，
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2023-06-26更新
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699次组卷
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6卷引用：福建省厦门市湖里区双十中学2022-2023学年高二下学期6月月考数学试题
福建省厦门市湖里区双十中学2022-2023学年高二下学期6月月考数学试题广东省韶关市2023届高三下学期4月综合测试（二）数学试题（已下线）模块三 专题8 成对数据的统计分析--基础夯实练)（人教A版）（已下线）模块三 专题6 统计案例--基础夯实练（北师大2019版 高二）（已下线）模块三 专题7 统计--(基础夯实练)（苏教版）（已下线）重难专攻(十三) 概率与统计的综合问题（核心考点集训）
名校
解题方法
9 . 从2015-2022年某地区区域发展总指数与年份的关系如下图所示．
若年份（2015年记为
年记为
，以此类推）与发展总指数存在线性关系．
(1)求年份与发展总指数的经验回归方程；
(2)根据（1）中的经验回归方程计算的各年发展总指数值（预测值）与实际发展总指数值（观测值）差的绝对值，并记为，称为和谐度．若
，则称该年为和谐发展年．经计算得2019、2020、2021这三年的和谐度分别为0.575、1.675、1.475．
①请计算2022年的和谐度；
②若从2019~2022这四年中任选两年，记事件
：两年中至少有一年为和谐发展年，求事件发生的概率
．
参考公式：回归方程，其中，
，
，
，
.
若年份
（2015年记为年记为，以此类推）与发展总指数存在线性关系．(1)求年份
与发展总指数的经验回归方程；(2)根据（1）中的经验回归方程计算的各年发展总指数值（预测值）与实际发展总指数值（观测值）差的绝对值，并记为
，称为和谐度．若，则称该年为和谐发展年．经计算得2019、2020、2021这三年的和谐度分别为0.575、1.675、1.475．①请计算2022年的和谐度；
②若从2019~2022这四年中任选两年，记事件
：两年中至少有一年为和谐发展年，求事件发生的概率．参考公式：回归方程
，其中，，，，.
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名校
解题方法
10 . 如图是某企业2016年至2022年的污水净化量（单位：吨）的折线图.
注：年份代码1~7分别对应年份2016~2022.
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y和t的关系，请建立y关于t的回归方程，并预测2025年该企业的污水净化量；
(2)请用相关指数说明回归方程预报的效果.
参考数据：
；
参考公式：线性回归方程
；
相关指数：
注：年份代码1~7分别对应年份2016~2022.
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y和t的关系，请建立y关于t的回归方程，并预测2025年该企业的污水净化量；
(2)请用相关指数说明回归方程预报的效果.
参考数据：
；参考公式：线性回归方程
；相关指数：
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2023-05-26更新
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540次组卷
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3卷引用：福建省漳州立人学校2022-2023学年高二下学期第二次（6月）月考数学试题
