1 . 已知
是关于的方程组
的解.
（1）求证：
；
（2）设
分别为
三边长，试判断的形状，并说明理由；
（3）设
为不全相等的实数，试判断
是“
”的 条件，并证明.①充分非必要；②必要非充分；③充分且必要；④非充分非必要.
是关于的方程组的解.（1）求证：
；（2）设
分别为三边长，试判断的形状，并说明理由；（3）设
为不全相等的实数，试判断是“”的 条件，并证明.①充分非必要；②必要非充分；③充分且必要；④非充分非必要.
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2 . 【选做题】在A，B，C，D 四小题中只能选做两题 ，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—1：几何证明选讲
B．选修4—2：矩阵与变换
C．选修4—4：坐标系与参数方程
D．选修4—5：不等式选讲
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—1：几何证明选讲
如图所示，
为⊙
的直径，
平分
交⊙于
点，过作⊙的切线交
于点
，求证
．
B．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵
的一个特征值为3，求
．
C．选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系
中，圆
的参数方程为
为参数
．
以原点为极点，以
轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线
的极坐标方程为
，已知圆心到直线的距离等于
，求
的值．
D．选修4—5：不等式选讲
已知实数
满足
，
，求证：
．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在
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3 . 【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—1：几何证明选讲
如图，△ABC的顶点A，C在圆O上，B在圆外，线段AB与圆O交于点M．
（1）若BC是圆O的切线，且AB＝8，BC＝4，求线段AM的长度；
（2）若线段BC与圆O交于另一点N，且AB＝2AC，求证：BN＝2MN．
B．选修4—2：矩阵与变换
设a，b∈R．若直线l：ax＋y－7＝0在矩阵A=
对应的变换作用下，得到的直线为l′：9x＋y－91＝0．求实数a，b的值．
C．选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，直线l：
(t为参数)，与曲线C：
(k为参数)交于A，B两点，求线段AB的长．
D．选修4—5：不等式选讲
设a≠b，求证：a4＋6a2b2＋b4＞4ab(a2＋b2)．
A．选修4—1：几何证明选讲
如图，△ABC的顶点A，C在圆O上，B在圆外，线段AB与圆O交于点M．
（1）若BC是圆O的切线，且AB＝8，BC＝4，求线段AM的长度；
（2）若线段BC与圆O交于另一点N，且AB＝2AC，求证：BN＝2MN．
B．选修4—2：矩阵与变换
设a，b∈R．若直线l：ax＋y－7＝0在矩阵A=
对应的变换作用下，得到的直线为l′：9x＋y－91＝0．求实数a，b的值．C．选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，直线l：
(t为参数)，与曲线C： (k为参数)交于A，B两点，求线段AB的长．D．选修4—5：不等式选讲
设a≠b，求证：a4＋6a2b2＋b4＞4ab(a2＋b2)．
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真题
4 . 从A，B，C，D四个中选做2个，每题10分，共20分
设a，b，c为正实数，求证：
．
| A．选修4—1 几何证明选讲 如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．求证：  ． |
| B．选修4—2 矩阵与变换 在平面直角坐标系 中，设椭圆 在矩阵对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程． |
| C．选修4—4 参数方程与极坐标 在平面直角坐标系 中，点 是椭圆 上的一个动点，求 的最大值． |
| D．选修4—5 不等式证明选讲 |
．
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5 . 在平面直角坐标系中，利用公式
①（其中，
，
，
为常数），将点
变换为点
的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由，，，组成的正方形数表
唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母
，
，…表示．中，将点
绕原点按逆时针旋转
得到点
（到原点距离不变），求点的坐标；
(2)如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转
角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
(3)向量
（称为行向量形式），也可以写成
，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为：
，则称
是二阶矩阵与向量的乘积，设是一个二阶矩阵，
，
是平面上的任意两个向量，求证：
．
中，利用公式①（其中，，，为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，…表示．
中，将点绕原点按逆时针旋转得到点（到原点距离不变），求点的坐标；(2)如图，在平面直角坐标系
中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；(3)向量
（称为行向量形式），也可以写成，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为：，则称是二阶矩阵与向量的乘积，设是一个二阶矩阵，，是平面上的任意两个向量，求证：．
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6 . 如图所示，在平面直角坐标系中，点
绕坐标原点逆时针旋转角
至点
．
（1）试证明点的旋转坐标公式：
（2）设
，点
绕坐标原点逆时针旋转角至点
，点再绕坐标原点旋转角至点
，且直线
的斜率
，求角的值；
（3）试证明方程
的曲线是双曲线，并求其焦点坐标．
中，点绕坐标原点逆时针旋转角至点．（1）试证明点的旋转坐标公式：
（2）设
，点绕坐标原点逆时针旋转角至点，点再绕坐标原点旋转角至点，且直线的斜率，求角的值；（3）试证明方程
的曲线是双曲线，并求其焦点坐标．
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名校
7 . 设数阵
，其中
、
、
、
．设
，其中
，
且
．定义变换
为“对于数阵的每一行，若其中有
或
，则将这一行中每个数都乘以
；若其中没有且没有，则这一行中所有数均保持不变”（
、
、
、
）．
表示“将
经过
变换得到
，再将
经过
变换得到
、 ，以此类推，最后将
经过
变换得到
”，记数阵中四个数的和为
．
（1）若
，写出经过
变换后得到的数阵；
（2）若
，
，求的值；
（3）对任意确定的一个数阵，证明：的所有可能取值的和不超过
．
，其中、、、．设，其中，且．定义变换为“对于数阵的每一行，若其中有或，则将这一行中每个数都乘以；若其中没有且没有，则这一行中所有数均保持不变”（、、、）．表示“将经过变换得到，再将经过变换得到、 ，以此类推，最后将经过变换得到”，记数阵中四个数的和为．（1）若
，写出经过变换后得到的数阵；（2）若
，，求的值；（3）对任意确定的一个数阵
，证明：的所有可能取值的和不超过．
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2020-04-16更新
|
454次组卷
|
5卷引用：2020届北京市高考适应性测试数学试题
名校
8 . 在平面直角坐标系中，已知两点
，若点的坐标满足
，且点的轨迹与抛物线
交于
两点.
(
)求证:
(
)在轴上是否存在一点
,使得过点
任作一条抛物线的弦,并以该弦为直径的圆过原点.若存在,求出
的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由.
中，已知两点，若点的坐标满足，且点的轨迹与抛物线交于两点.(
)求证:(
)在轴上是否存在一点,使得过点任作一条抛物线的弦,并以该弦为直径的圆过原点.若存在,求出的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由.
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2011·北京东城·一模
9 . ．对于n∈N*（n≥2），定义一个如下数阵：
，其中对任意的1≤i≤n，1≤j≤n，当i能整除j时，aij＝1；当i不能整除j时，aij＝0．设
．
（Ⅰ）当n＝6时，试写出数阵A66并计算
；
（Ⅱ）若[x]表示不超过x的最大整数，求证：
；
（Ⅲ）若
，
，求证：g（n）﹣1＜f（n）＜g（n）+1．
，其中对任意的1≤i≤n，1≤j≤n，当i能整除j时，aij＝1；当i不能整除j时，aij＝0．设．（Ⅰ）当n＝6时，试写出数阵A66并计算
；（Ⅱ）若[x]表示不超过x的最大整数，求证：
；（Ⅲ）若
，，求证：g（n）﹣1＜f（n）＜g（n）+1．
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真题
10 . A．选修4 - 1：几何证明选讲
如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.
求证：AB∥CD.
B．选修4 - 2：矩阵与变换
求矩阵
的逆矩阵.
C．选修4 - 4：坐标系与参数方程
已知曲线C的参数方程为
（
为参数，
），求曲线C的普通方程.
D．选修4 - 5：不等式选讲
设≥＞0，求证：
≥
.
如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.
求证：AB∥CD.
B．选修4 - 2：矩阵与变换
求矩阵
的逆矩阵.C．选修4 - 4：坐标系与参数方程
已知曲线C的参数方程为
（为参数，），求曲线C的普通方程.D．选修4 - 5：不等式选讲
设
≥＞0，求证：≥.
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