解题方法
1 . 离散对数在密码学中有重要的应用．设
是素数，集合
，若
，记
为
除以的余数，
为
除以的余数；设
，
两两不同，若
，则称
是以
为底
的离散对数，记为
．
(1)若
，求
；
(2)对
，记
为
除以
的余数（当能被整除时，
）．证明：
，其中
；
(3)已知．对
，令
．证明：
．
是素数，集合，若，记为除以的余数，为除以的余数；设，两两不同，若，则称是以为底的离散对数，记为．(1)若
，求；(2)对
，记为除以的余数（当能被整除时，）．证明：，其中；(3)已知
．对，令．证明：．
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2024-01-19更新
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6486次组卷
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8卷引用：2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）数学试题
2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）数学试题2024年九省联考试卷分析及真题鉴赏（已下线）2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）数学试题变式题16-19（已下线）压轴题高等数学背景下新定义题(九省联考第19题模式）讲（已下线）微考点8-1 新高考新题型19题新定义题型精选（已下线）新题型02 新高考新结构竞赛题型十五大考点汇总-2（已下线）专题22 新高考新题型第19题新定义压轴解答题归纳（9大核心考点）（讲义）（已下线）专题8 考前押题大猜想36-40
2 . 莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：
（
为的质因数个数，
为质数，
），例如：
，对应
．现对任意
，定义莫比乌斯函数
(1)求
；
(2)若正整数
互质，证明：
；
(3)若
且
，记的所有真因数（除了1和以外的因数）依次为
，证明：
．
都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，），例如：，对应．现对任意，定义莫比乌斯函数 (1)求
；(2)若正整数
互质，证明：；(3)若
且，记的所有真因数（除了1和以外的因数）依次为，证明：．
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2024-03-26更新
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1224次组卷
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5卷引用：河南省南阳市西峡县第一高级中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷
河南省南阳市西峡县第一高级中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷湖南省衡阳市2024届高三第二次联考数学试题重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高二下学期第一阶段学业质量联合调研抽测（4月）数学试题（已下线）压轴题08计数原理、二项式定理、概率统计压轴题6题型汇总（已下线）【人教A版（2019）】高二下学期期末模拟测试A卷
名校
3 . 若函数
在定义域内存在实数
满足
，
，则称函数为定义域上的“阶局部奇函数”．
（1）若函数
，判断是否为
上的“二阶局部奇函数”，并说明理由；
（2）若函数
是
上的“一阶局部奇函数”，求实数
的取值范围；
（3）对于任意的实数
，函数
恒为
上的“阶局部奇函数”，求的取值集合．
在定义域内存在实数满足，，则称函数为定义域上的“阶局部奇函数”．（1）若函数
，判断是否为上的“二阶局部奇函数”，并说明理由；（2）若函数
是上的“一阶局部奇函数”，求实数的取值范围；（3）对于任意的实数
，函数恒为上的“阶局部奇函数”，求的取值集合．
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2021-01-02更新
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1196次组卷
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9卷引用：河南省洛阳复兴学校2021-2022学年高一上学期12月月考数学试题
河南省洛阳复兴学校2021-2022学年高一上学期12月月考数学试题江苏省南京市六校2020-2021学年高一上学期12月联考数学试题福建省福州第八中学2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题江苏省连云港市海头高级中学2022-2023学年高一上学期1月学情检测数学试题江苏省苏州市2022-2023学年高一上学期期末数学试题江苏省苏州市2022-2023学年高一上学期期末数学试题福建福州第三中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题湖南省岳阳市平江县颐华高级中学（平江）有限公司2022-2023学年高一下学期开学考试数学试题江苏省苏州市2022-2023学年高一上学期12月期末迎考数学试题（A卷）
名校
解题方法
4 . 对于函数
，若在其定义域内存在 实数x，满足
，则称为“局部奇函数”．
(1)若
是定义在区间
上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．
(2)若
为定义域R上的“局部奇函数”，求实数n的取值范围．
，若在其定义域内，则称为“局部奇函数”．(1)若
是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．(2)若
为定义域R上的“局部奇函数”，求实数n的取值范围．
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2022-11-15更新
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746次组卷
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6卷引用：河南省焦作市博爱县第一中学2023-2024学年高三上学期9月月考数学试题
河南省焦作市博爱县第一中学2023-2024学年高三上学期9月月考数学试题河南省焦作市博爱县第一中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题上海市第二中学2017-2018学年高三上学期10月月考数学试题广东省深圳市高级中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题广东省广州市海珠外国语实验中学2022-2023学年高一上学期段考（二）数学试题（已下线）第三章 函数的概念与性质（易错必刷40题12种题型专项训练）-【满分全攻略】（人教A版2019必修第一册）
5 . 锐角三角形ABC中，求证：
.
.
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名校
6 . 已知复数
是一元二次方程
的一个根.
（1）求和的值；
（2）若
，
，
为纯虚数，求
的值.
是一元二次方程的一个根.（1）求
和的值；（2）若
，，为纯虚数，求的值.
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2019-11-06更新
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989次组卷
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6卷引用：河南省郑州市第一中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题
河南省郑州市第一中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题上海市七宝中学2018-2019学年高二下学期期中数学试题上海市进才中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题（已下线）专题2.4 复数【专项训练】-2020-2021学年高一数学下学期期末专项复习（沪教版2020）福建省漳州第一中学2020-2021学年高一下学期数学期末试题（已下线）第3章 本章复习课-2020-2021学年高二数学（理）课时同步练（人教A版选修2-2）
7 . 已知函数
.
（1）若
，求曲线
在
处的切线方程.
（2）若存在实数，使得
有两个不同的零点
，证明：
.
.（1）若
，求曲线在处的切线方程.（2）若存在实数
，使得有两个不同的零点，证明：.
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名校
解题方法
8 . 若函数在定义域内的某区间
上是严格增函数，而
在区间上是严格减函数，则称函数在区间上是“弱增函数”.
(1)判断
，
在区间
上是否是“弱增函数”（不需证明）？
(2)若
（其中常数
，
）在区间
上是“弱增函数”，求、应满足的条件；
(3)已知
（是常数且
），若存在区间使得在区间上是“弱增函数”，求的取值范围.
在定义域内的某区间上是严格增函数，而在区间上是严格减函数，则称函数在区间上是“弱增函数”.(1)判断
，在区间上是否是“弱增函数”（不需证明）？(2)若
（其中常数，）在区间上是“弱增函数”，求、应满足的条件；(3)已知
（是常数且），若存在区间使得在区间上是“弱增函数”，求的取值范围.
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2021-12-16更新
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304次组卷
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3卷引用：河南省驻马店市确山县第一高级中学2022-2023学年高二上学期数学竞赛试题
名校
9 . 已知
，试求
的最大值．
，试求的最大值．
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2019-01-28更新
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589次组卷
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2卷引用：2018年全国高中数学联赛河南省预赛
10 . 已知
的三边长分别为．、、
，且满足
，是否存在边长均为整数的？若存在，求出三边长；若不存在，说明理由．
的三边长分别为．、、，且满足，是否存在边长均为整数的？若存在，求出三边长；若不存在，说明理由．
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