1 . 设自然数
，由
个不同正整数
构成集合
，若集合
的每一个非空子集所含元素的和构成新的集合
，记
为集合元素的个数
(1)已知集合
，集合
，分别求解
．
(2)对于集合，若取得最大值，则称该集合为“极异集合”
①求的最大值（无需证明）．
②已知集合是极异集合，记
求证：数列
的前项和
．
，由个不同正整数构成集合，若集合的每一个非空子集所含元素的和构成新的集合，记为集合元素的个数(1)已知集合
，集合，分别求解．(2)对于集合
，若取得最大值，则称该集合为“极异集合”①求
的最大值（无需证明）．②已知集合
是极异集合，记求证：数列的前项和．
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2 . 如图，四边形
满足
于点
，
于
，
为
的垂心．求证：
，，
三点共线．
满足于点，于，为的垂心．求证：，，三点共线．
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3 . 已知函数
对任意的x，
，都有
，且当
时，
，
．
(1)判断函数的奇偶性，并证明当
时，
；
(2)判断函数在区间
上的单调性，并用定义法证明；
(3)设实数
，求关于x的不等式
的解集．
对任意的x，，都有，且当时，，．(1)判断函数
的奇偶性，并证明当时，；(2)判断函数
在区间上的单调性，并用定义法证明；(3)设实数
，求关于x的不等式的解集．
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4 . 已知函数
，函数
.
(1)若
，求
的值域；
(2)若
：
（ⅰ）解关于
的不等式：
；
（ⅱ）设
，若实数
满足
，比较
与
的大小，并证明你的结论.
，函数.(1)若
，求的值域；(2)若
：（ⅰ）解关于
的不等式：；（ⅱ）设
，若实数满足，比较与的大小，并证明你的结论.
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解题方法
5 . 如图所示，已知椭圆
过点
，且满足
为坐标原点，平行于
的直线交椭圆于两个不同的点
．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线
与轴交于点
．证明
的平分线所在直线与轴垂直．
过点，且满足为坐标原点，平行于的直线交椭圆于两个不同的点． (1)求椭圆
的方程；(2)直线
与轴交于点．证明的平分线所在直线与轴垂直．
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6 . 定义2*2数表
，
，
，其中
称为中的元素. 和
属于复数集合. 我们定义
，其中
，
（共个），
，
，
：
(1)证明：
（i）
.
（ii）
.
(2)若存在A，B，C，使得
，且
，
，
：
（ⅰ）请列出所有满足条件的有序数对
.
（ⅱ）对
，
，
，试验证其是否满足上述条件.
(3)（ⅰ） 在上一题的（ⅱ）中，
以及
合称为Pauli数表. 任意
均可以表示为：
，
为复数，试用
表示.
（ⅱ） 设
，请证明：
.
，，，其中称为中的元素. 和属于复数集合. 我们定义，其中，（共个），，，：(1)证明：
（i）
.（ii）
.(2)若存在A，B，C，使得
，且，，：（ⅰ）请列出所有满足条件的有序数对
.（ⅱ）对
，，，试验证其是否满足上述条件.(3)（ⅰ） 在上一题的（ⅱ）中，
以及合称为Pauli数表. 任意均可以表示为：，为复数，试用表示.（ⅱ） 设
，请证明：.
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解题方法
7 . 已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若对
恒成立，求k的取值范围；
(3)求证：对
，不等式
恒成立.
.(1)当
时，求曲线在点处的切线方程；(2)若对
恒成立，求k的取值范围；(3)求证：对
，不等式恒成立.
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解题方法
8 . 已知函数
是定义在R上的奇函数，且
(1)求
的解析式；
(2)用定义证明在
上是增函数；
(3)设
，当
时，试求函数
的最大值
．
是定义在R上的奇函数，且(1)求
的解析式；(2)用定义证明
在上是增函数；(3)设
，当时，试求函数的最大值．
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解题方法
9 . 设抛物线
，过
轴上点
的直线
与相切于点
，且当的斜率为
时，
.
(1)求的方程；
(2)过且垂直于的直线交于
两点，若
为线段
的中点，证明：直线
过定点.
，过轴上点的直线与相切于点，且当的斜率为时，.(1)求
的方程；(2)过
且垂直于的直线交于两点，若为线段的中点，证明：直线过定点.
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解题方法
10 . 已知函数
.
(1)讨论函数的奇偶性（写出结论，不需要证明）；
(2)如果当
时，的最大值是
，求
的值.
.(1)讨论函数
的奇偶性（写出结论，不需要证明）；(2)如果当
时，的最大值是，求的值.
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2023-09-05更新
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275次组卷
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3卷引用：浙江省金华市义乌市青岩书院2022-2023学年高一上学期12月月考数学试题
