1 . 已知集合，集合满足：①每个集合都恰有4个元素；②.集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的最大值与最小值的差为______．

2 . 已知平面与平面是空间中距离为1的两平行平面，，，且，和的夹角为.

(1)证明：四面体的体积为定值；
(2)已知异于、两点的动点，且、、、、均在半径为的球面上.求点到直线的距离的取值范围.

3 . 托马斯•贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为的全概率.春夏换季是流行性感冒爆发期，已知三个地区分别有的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自地区的概率是（       ）

A．0.25

B．0.27

C．0.48

D．0.52

4 . 当实数变化时，函数最大值的最小值为（       ）

A．2

B．4

C．6

D．8

5 . 已知函数（其中是自然对数的底数）.
(1)是否存在实数a，使得函数在定义域内单调递增？
(2)若函数存在极大值，极小值，求证：

6 . 在中，若，则的取值范围为（       ）

A．

B．

C．

D．

7 . 已知函数满足，且，则（       ）

A．

B．

C．0

D．2024

8 . 已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)，，求的最小值；
(3)若在区间存在零点，求的取值范围.

9 . 已知函数，其中．
(1)若在处取得极小值，求的值；
(2)当时，求在区间上的最大值；
(3)证明：有且只有一个极值点．

10 . 某自然保护区经过几十年的发展，某种濒临灭绝动物数量有大幅度的增加.已知这种动物拥有两个亚种（分别记为种和种）.为了调查该区域中这两个亚种的数目，某动物研究小组计划在该区域中捕捉100个动物，统计其中种的数目后，将捕获的动物全部放回，作为一次试验结果.重复进行这个试验共20次，记第次试验中种的数目为随机变量.设该区域中种的数目为，种的数目为（，均大于100），每一次试验均相互独立.
(1)求的分布列；
(2)记随机变量.已知，
（i）证明：，；
（ii）该小组完成所有试验后，得到的实际取值分别为.数据的平均值，方差.采用和分别代替和，给出，的估计值.
（已知随机变量服从超几何分布记为：（其中为总数，为某类元素的个数，为抽取的个数），则）