1 . 设和是两个等差数列，记，
其中表示这个数中最大的数．
（Ⅰ）若，，求的值，并证明是等差数列；
（Ⅱ）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列．

2 . 已知函数，曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为.
（1）求；
（2）证明：当时，曲线与直线只有一个交点.

3 . 已知函数（为常数，且，）.请在下面四个函数：①，②，③，④，中选择一个函数作为，使得具有奇偶性.
（1）请写出表达式，并求的值；
（2）当为奇函数时，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；
（3）当为偶函数时，请讨论关于的方程解的个数.

4 . 已知函数 .
(1)求的单调区间；
(2)若有两个不同的零点，证明：.

5 . 已知点到的距离是点到的距离的2倍.
（1）求点的轨迹方程；
（2）若点与点关于点对称，点，求的最大值；
（3）若过的直线与第二问中的轨迹交于，两点，试问在轴上是否存在点，使恒为定值?若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由.

6 . 已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．

7 . 已知函数有两个零点.
(1)求a的取值范围.
(2)记两个零点分别为x₁，x₂，证明：.

8 . 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围.

9 . 已知函数，，是自然对数的底数．
(1)求函数的最小值；
(2)若在上恒成立，求实数的值；
(3)求证：．

10 . 已知函数.
（1）讨论的单调性.
（2）当时，若无最小值，求实数的取值范围.