1 . 设数列的前项和为．若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”．
(1)若数列，，判断和是否是“数列”；
(2)设是等差数列，其首项，公差．若是“数列”，求的值；
(3)证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列”和，使得成立．

2 . 在直角坐标平面内，已知，动点满足条件：直线与直线的斜率之积等于，记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点作直线交于两点（与不重合），直线与的交点是否在一条定直线上？若是，求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由.

3 . 已知椭圆的离心率为，过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，D，E，F为椭圆上不同于A，B的点，且，.当l的斜率为0时，的最大面积为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)的面积是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由.

4 . 画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆C的蒙日圆，其圆方程为．已知椭圆C的离心率为，点A，B均在椭圆C上，直线，则下列描述正确的为（       ）

A．点A与椭圆C的蒙日圆上任意一点的距离最小值为b

B．若l上恰有一点P满足：过P作椭圆C的两条切线互相垂直，则椭圆C的方程为

C．若l上任意一点Q都满足，则

D．若，椭圆C的蒙日圆上存在点M满足，则面积的最大值为

5 . 已知函数.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个零点，，且，求证：(其中是自然对数的底数).

6 . 已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)若，求的值；
(3)求证：.

8 . 已知抛物线的焦点到准线的距离为2.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知是上的两点，是抛物线上一动点，原点到直线的距离均为1，求的最小值.

9 . 抛物线C：，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），，则（       ）

A．最小值为4

B．可能为钝角三角形

C．当直线l的倾斜角为60°时，与面积之比为3

D．当直线AM与抛物线C只有一个公共点时，

10 . 已知函数，其中．
(1)当时，求证：在上单调递减；
(2)若有两个不相等的实数根．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）求证：．