1 . 已知函数．
(1)若对时，，求正实数a的最大值；
(2)证明：；
(3)若函数的最小值为m，证明：方程有唯一的实数根，（其中是自然对数的底数）

2 . 已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若存在两个不同的零点，且.求证：.

3 . 已知函数．
(1)求的单调区间．
(2)若存在两个不同的零点，且．求证

5 . 已知双曲线的左、右焦点分别为，，左顶点为，点M为双曲线上一动点，且的最小值为18，O为坐标原点．

(1)求双曲线C的标准方程；
(2)如图，已知直线与x轴的正半轴交于点T，过点T的直线交双曲线C右支于点B，D，直线AB，AD分别交直线l于点P，Q，若O，A，P，Q四点共圆，求实数m的值．

6 . 已知函数．
(1)求的单调区间：
(2)若有两个零点，求a的取值范围；
(3)当时，，求a的取值范围．

7 . 已知，函数．
(1)若和的最小值相等，求的值；
(2)若方程恰有一个实根，求的值．

9 . 已知．
(1)当时，解不等式；
(2)若关于x的方程的解集中恰好有一个元素，求实数a的值；
(3)若对任意，函数在区间上总有意义，且最大值与最小值的差不小于2，求a的取值范围．

10 . 已知函数，其中．
(1)求的最大值；
(2)若不等式对于任意的恒成立，求实数a的取值范围．