1 . ①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有一结论：若函数，的导函数分别为，，且，则；
②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)证明不是区间上的2阶无穷递降函数；
(2)计算：；
(3)记，；求证：.

2 . 设函数
(1)若，求极小值.
(2)讨论函数的单调性；
(3)若，是函数的两个零点，且，求的最小值.

3 . 已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若，，且，证明：.

4 . 已知函数，
(1)讨论时函数在上的单调性；
(2)当时，若对于任意恒成立，求的取值范围．

5 . 英国物理学家、数学家艾萨克•牛顿与德国哲学家、数学家戈特弗里德•莱布尼茨各自独立发明了微积分．其中牛顿在《流数法与无穷级数》（The Method of Fluxions and Inifinite Series）一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．如图，具体做法如下：先在x轴找初始点，然后作在点处切线，切线与x轴交于点，再作在点处切线，切线与x轴交于点，再作在点处切线，以此类推，直到求得满足精度的零点近似解为止．

(1)设函数，初始点，若按上述算法，求出的一个近似值（精确到0.1）；
(2)如图，设函数，初始点为，若按上述算法，求所得前n个三角形，，……，的面积和；

(3)设函数，令，且，若函数，，设曲线的一条切线方程为，证明：当时，．

6 . 已知集合（）.对于，，定义；（）；与之间的距离为.
(1)当时，设，.若，求；
(2)证明：若，且，使，则；
(3)记.若，且，求的最大值.

7 . 已知数列的前项和为，满足；数列满足，其中.
(1)求数列的通项公式；
(2)对于给定的正整数，在和之间插入个数，使，成等差数列.
（i）求；
（ii）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.

8 . 已知函数.
(1)若是函数的一个极值点，求实数的值；
(2)若函数有两个极值点，其中，
①求实数的取值范围；
②若不等式恒成立，求实数的取值范围.

9 . 随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为数列的二阶差分数列，其中．
(1)数列的通项公式为，试判断数列是否为等差数列，请说明理由？
(2)数列是以1为公差的等差数列，且，对于任意的，都存在，使得，求的值；
(3)各项均为正数的数列的前项和为，且为常数列，对满足，的任意正整数都有，且不等式恒成立，求实数的最大值．