1 . 若函数
对任意的
，均有
，则称函数具有性质
．
（1）判断下面两个函数是否具有性质，并说明理由．①
；②
．
（2）若函数具有性质，且
，求证：对任意
有
；
（3）在（2）的条件下，是否对任意
均有．若成立给出证明，若不成立给出反例．
对任意的，均有，则称函数具有性质．（1）判断下面两个函数是否具有性质
，并说明理由．①；②．（2）若函数
具有性质，且，求证：对任意有；（3）在（2）的条件下，是否对任意
均有．若成立给出证明，若不成立给出反例．
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2020-05-08更新
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971次组卷
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6卷引用：2011届北京市西城区高三二模试卷数学（文科）
（已下线）2011届北京市西城区高三二模试卷数学（文科）2020届上海市上海中学高三下学期高考模拟（4月）数学试题北京市首师大附2017-2018学年高三十月月考数学（文）试题（已下线）重难点12 选考系列（参数方程与不等式）-2021年高考数学【热点·重点·难点】专练（上海专用）（已下线）第四章 指数函数与对数函数单元检测卷（能力挑战）-【一堂好课】2021-2022学年高一数学上学期同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）北京市第八十中学2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题
名校
2 . （1）请根据对数函数
来指出函数
的基本性质（结论不要求证明），并画出图象；
（2）拉普拉斯称赞对数是一项“使天文学家寿命倍增”的发明.对数可以将大数之间的乘除运算简化为加减运算，请证明：
；
（3）2017年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind公司开发的程序“AlphaGo”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能.围棋复杂度的上限约为
，而根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数约为
.甲、乙两个同学都估算了
的近似值，甲认为是
,乙认为是
.现有两种定义：
①若实数
满足
，则称
比
接近
；
②若实数
，且
，满足
，则称比接近；请你任选取其中一种定义来判断哪个同学的近似值更接近，并说明理由.
来指出函数的基本性质（结论不要求证明），并画出图象；（2）拉普拉斯称赞对数是一项“使天文学家寿命倍增”的发明.对数可以将大数之间的乘除运算简化为加减运算，请证明：
；（3）2017年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind公司开发的程序“AlphaGo”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能.围棋复杂度的上限约为
，而根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数约为.甲、乙两个同学都估算了的近似值，甲认为是,乙认为是.现有两种定义：①若实数
满足，则称比接近；②若实数
，且，满足，则称比接近；请你任选取其中一种定义来判断哪个同学的近似值更接近，并说明理由.
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名校
3 . 设全集为
，定义域为
的函数
是关于x的函数“函数组”，当n取中不同的数值时可以得到不同的函数．例如：定义域为
的函数
，当
时，有
若存在非空集合
满足当且仅当
时，函数
在上存在零点，则称是
上的“跳跃函数”．
(1)设
，若函数
是上的“跳跃函数”，求集合;
(2)设
，若不存在集合使为上的“跳跃函数”，求所有满足条件的集合的并集；
(3)设，为上的“跳跃函数”，
．已知
，且对任意正整数n，均有
．
（i）证明：
;
（ii）求实数
的最大值，使得对于任意，均有的零点
．
，定义域为的函数是关于x的函数“函数组”，当n取中不同的数值时可以得到不同的函数．例如：定义域为的函数，当时，有若存在非空集合满足当且仅当时，函数在上存在零点，则称是上的“跳跃函数”．(1)设
，若函数是上的“跳跃函数”，求集合;(2)设
，若不存在集合使为上的“跳跃函数”，求所有满足条件的集合的并集；(3)设
，为上的“跳跃函数”，．已知，且对任意正整数n，均有．（i）证明：
;（ii）求实数
的最大值，使得对于任意，均有的零点．
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4 . 对于定义在上的函数
，若存在距离为
的两条平行直线
和
，使得对任意的
都有
，则称函数
有一个宽度为的通道，
与
分别叫做函数的通道下界与通道上界．
(1)若
，请写出满足题意的一组通道宽度不超过3的通道下界与通道上界的直线方程；
(2)若
，证明：
存在宽度为2的通道；
(3)探究
是否存在宽度为
的通道？并说明理由．
上的函数，若存在距离为的两条平行直线和，使得对任意的都有，则称函数有一个宽度为的通道，与分别叫做函数的通道下界与通道上界．(1)若
，请写出满足题意的一组通道宽度不超过3的通道下界与通道上界的直线方程；(2)若
，证明：存在宽度为2的通道；(3)探究
是否存在宽度为的通道？并说明理由．
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名校
解题方法
5 . 已知函数
(1)求不等式
的解集；
(2)若函数
的最小值为m，且正数a，b，c满足
，求证：
．
(1)求不等式
的解集；(2)若函数
的最小值为m，且正数a，b，c满足，求证：．
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2023-05-13更新
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411次组卷
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6卷引用：四川省凉山彝族自治州2023届高三第三次诊断性检测数学（文）试题
名校
6 . 已知函数和的定义域分别为
和
，若对任意的
都存在
个不同的实数
，使得
（其中
），则称为的“重覆盖函数”．
(1)试判断
是否为
的“2重覆盖函数”？请说明理由；
(2)求证：
是
的“4重覆盖函数”；
(3)若
为
的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围．
和的定义域分别为和，若对任意的都存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”．(1)试判断
是否为的“2重覆盖函数”？请说明理由；(2)求证：
是的“4重覆盖函数”；(3)若
为的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围．
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2022-11-06更新
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639次组卷
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5卷引用：上海市奉贤区2022届高三下学期5月高考模拟数学试题
名校
7 . 阅读下段文字：“已知
为无理数，若
为有理数，则存在无理数
，使得
为有理数；若为无理数，则取无理数
，
，此时
为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是（ ）
为无理数，若为有理数，则存在无理数，使得为有理数；若为无理数，则取无理数，，此时为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是（ ）| A．是有理数 | B．是无理数 |
| C．存在无理数a，b，使得为有理数 | D．对任意无理数a，b，都有为无理数 |
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2023-04-13更新
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2912次组卷
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10卷引用：湖北省武汉市2023届高三下学期四月调研数学试题
湖北省武汉市2023届高三下学期四月调研数学试题安徽省滁州市定远中学2023届高三下学期毕业生调研考试（二）数学试卷安徽省安庆市桐城中学2023届高三下学期第二次模拟数学试卷（已下线）模块六 专题3 易错题目重组卷（湖北卷）福建省厦门市双十中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题北京市第三十五中学2024届高三上学期开学考数学试题（已下线）第01讲 4.1指数-【帮课堂】（已下线）4.1.1 n次方根与分数指数幂＋4.1.2无理数指数幂及其运算性质【第三练】（已下线）专题04 指数函数与对数函数2-2024年高一数学寒假作业单元合订本广东省肇庆市肇庆中学2023届高三下学期4月月考数学试题
名校
解题方法
8 . 已知
，且
.证明：
(1)
；
(2)
.
，且.证明：(1)
；(2)
.
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2023-01-29更新
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373次组卷
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5卷引用：全国名校大联考2022-2023学年高三第六次联考文科数学试题
全国名校大联考2022-2023学年高三第六次联考文科数学试题内蒙古阿拉善盟第一中学2022-2023学年高三上学期期末考试数学（理科）试题内蒙古阿拉善盟第一中学2022-2023学年高三上学期期末考试数学（文科）试题（已下线）专题12-2 不等式选讲归类-1（已下线）第1课时 课后 分数指数幂（完成）
名校
解题方法
9 . 已知函数
且
）为定义在R上的奇函数
(1)利用单调性的定义证明：函数在R上单调递增；
(2)若关于x的不等式
恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若函数
有且仅有两个零点，求实数k的取值范围．
且）为定义在R上的奇函数(1)利用单调性的定义证明：函数
在R上单调递增；(2)若关于x的不等式
恒成立，求实数m的取值范围；(3)若函数
有且仅有两个零点，求实数k的取值范围．
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2022-09-29更新
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1788次组卷
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9卷引用：2023届普通高等学校全国统一模拟招生考试新未来9月联考理科数学试题
2023届普通高等学校全国统一模拟招生考试新未来9月联考理科数学试题河南省新未来2022-2023学年高三上学期9月联考文科数学试题安徽省江淮名校2023届高三上学期9月质量检测数学试题福建省福州第十五中学2023届高三10月月考数学试题河南省沈丘县长安高级中学2022-2023学年高三上学期月考理科数学试题第六章 幂函数、指数函数和对数函数（B卷·能力提升练）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（苏教版2019必修第一册）（已下线）第二章 函数的概念与性质 第七节 指数函数（B素养提升卷）（已下线）第04讲 指数与指数函数（练习）北京市第十二中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试卷
名校
解题方法
10 . 已知函数
.
(1)求证：函数是
上的减函数；
(2)已知函数的图像存在对称中心
的充要条件是
的图像关于原点中心对称，判断函数的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标，若不存在，说明理由；
(3)若对任意
，都存在
及实数，使得
，求实数的最大值.
.(1)求证：函数
是上的减函数；(2)已知函数
的图像存在对称中心的充要条件是的图像关于原点中心对称，判断函数的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标，若不存在，说明理由；(3)若对任意
，都存在及实数，使得，求实数的最大值.
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2021-12-20更新
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719次组卷
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4卷引用：上海市长宁区2022届高三上学期一模数学试题
