1 . 已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)若，求的值；
(3)求证：.

2 . 函数，．
(1)当时，求的单调区间；
(2)对任意，都有，使得成立，求的取值范围．

3 . 已知且，函数.
(1)讨论的单调区间；
(2)若曲线与直线恰有一个交点，求取值范围.

4 . 已知函数．
(1)若曲线在点处的切线过原点，求的值；
(2)若在的切线中，存在着过原点的切线，求的取值范围．

5 . 已知椭圆，点是椭圆C在第一象限上的一个动点，点，，分别是点关于y轴、原点和x轴的对称点，当四边形的面积最大时，线段，经过椭圆C的右焦点.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)已知过点的直线l与椭圆C相交于M，N两点，椭圆C的上顶点为B，求的面积的最大值.

6 . 已知函数和有相同的最大值，并且.
(1)求；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.

7 . 已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值．
(1)求函数的解析式；
(2)当时，求函数的最值．

8 . 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若在定义域内是增函数，且存在不相等的正实数，使得，证明：.