1 . 意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，定义双曲正弦函数，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质①平方关系：，②倍元关系：．
(1)求曲线在处的切线斜率；
(2)（i）证明：当时，；
（ii）证明：．

2 . 已知函数．
(1)证明：时，恒成立；
(2)证明：（且）．

3 . 已知函数.
(1)讨论函数的零点个数；
(2)若函数有两个极值点，证明：.

4 . 已知函数，.
(1)求证：；
(2)若，求的取值范围.

5 . 已知函数.
(1)若直线是曲线的切线，求实数的值；
(2)若对任意实数恒成立，求的取值范围；
(3)若，且，求实数的最大值.

6 . 已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，.

7 . 已知正项数列的前项和为，且.
(1)求和的值，并求出数列的通项公式；
(2)证明：；
(3)设，求的值（其中表示不超过的最大整数）.

8 . 设整数，且，函数．
(1)证明：；
(2)设，证明：；
(3)设，证明：．

9 . 已知函数，且有两个相异零点．
(1)求实数a的取值范围．
(2)证明：．

10 . 已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)设，若存在两个不同的零点，，且.
（i）证明：；
（ii）证明：.