1 . 空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量
、
满足：
，
，且存在实数
，使得
成立，则由构成的空间几何体的体积是______ .
、满足：，，且存在实数，使得成立，则由构成的空间几何体的体积是
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解题方法
2 . 已知
、
是空间中两个互相垂直的单位向量，向量
满足
，且
，当
取任意实数时，
的最小值为_________ .
、是空间中两个互相垂直的单位向量，向量满足，且，当取任意实数时，的最小值为
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名校
解题方法
3 . 已知向量
满足
，则
________ ．
满足，则
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2024-03-14更新
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2630次组卷
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9卷引用：上海市宜川中学2024届高三下学期2月开学考试数学试题
上海市宜川中学2024届高三下学期2月开学考试数学试题2024届高三上学期一轮复习联考（四）数学试题河北省承德市高新区第一中学2024届高三上学期12月月考模拟数学试题甘肃省张掖市高台县第一中学2024届高三下学期模拟考数学试题（已下线）黄金卷08（已下线）9.2 向量运算2 -【帮课堂】（苏教版2019必修第二册）第17讲 第六章 平面向量及其应用 章节验收测评卷-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第二册）江苏省宿迁市泗阳县实验高级中学2023-2024学年高一下学期第一次调研测试（3月）数学试题（已下线）第8章：向量的数量积与三角恒等变换章末重点题型复习（1）-【帮课堂】（人教B版2019必修第三册）
解题方法
4 . 已知不平行的两个向量
满足
，
．若对任意的
，都有
成立，则
的最小值等于__________ ．
满足，．若对任意的，都有成立，则的最小值等于
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2023-12-15更新
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1026次组卷
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8卷引用：上海市崇明区2024届高三一模数学试题
上海市崇明区2024届高三一模数学试题（已下线）专题06 平面向量（15区新题速递）（已下线）专题02 等式与不等式（15区真题速递）（已下线）6.2.4向量的数量积【第三练】“上好三节课，做好三套题“高中数学素养晋级之路（已下线）第16讲 第六章 平面向量及其应用 章末重点题型大总结（1）-【帮课堂】（人教A版2019必修第二册）（已下线）第13讲 拓展一：平面向量综合问题-【帮课堂】（人教A版2019必修第二册）（已下线）第05讲 6.2.4向量的数量积（2）-【帮课堂】（人教A版2019必修第二册）（已下线）第六章 平面向量及其应用（知识归纳+题型突破）1-单元速记·巧练（人教A版2019必修第二册）
解题方法
5 . 平面上有一组互不相等的单位向量
，
，…，
，若存在单位向量
满足
，则称是向量组，，…，的平衡向量．已知
，向量是向量组
，，
的平衡向量，当
取得最大值时，
的值为______ ．
，，…，，若存在单位向量满足，则称是向量组，，…，的平衡向量．已知，向量是向量组，，的平衡向量，当取得最大值时，的值为
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名校
解题方法
6 . 如图，在
中，
，
，P为CD上一点，且满足
，若
，则
的最小值为__________ .
中，，，P为CD上一点，且满足，若，则的最小值为
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2023-11-09更新
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924次组卷
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3卷引用：上海市浦东新区上海市实验学校2024届高三上学期第三次月考数学试题
上海市浦东新区上海市实验学校2024届高三上学期第三次月考数学试题天津市第二南开学校2023-2024学年高三上学期期中数学试题（已下线）第13讲 拓展一：平面向量综合问题-【帮课堂】（人教A版2019必修第二册）
解题方法
7 . 
，
，且
，则
_________ .
，，且，则
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22-23高三下·上海浦东新·阶段练习
名校
解题方法
8 . 设，
，
，为空间中4个单位向量，满足
，
，
，且
．则
的最小值为______ ．
，，，为空间中4个单位向量，满足，，，且．则的最小值为
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名校
解题方法
9 . 已知向量的夹角为
的单位向量，若对任意的
，且
，
，则
的取值范围是__________ ．
的夹角为的单位向量，若对任意的，且，，则的取值范围是
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2023-04-13更新
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426次组卷
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4卷引用：上海市南模中学2023届高三下学期5月月考数学试题
名校
解题方法
10 . 已知，是两个夹角为
的单位向量，则
的最小值为____________ ．
，是两个夹角为的单位向量，则的最小值为
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2022-10-27更新
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808次组卷
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4卷引用：上海市华东师范大学第一附属中学2023届高三上学期开学考试数学试题
上海市华东师范大学第一附属中学2023届高三上学期开学考试数学试题上海市嘉定区中光高级中学2023届高三上学期期中数学试题（已下线）6.2.4 向量的数量积 (精讲）(2)-【精讲精练】2022-2023学年高一数学下学期同步精讲精练（人教A版2019必修第二册）（已下线）第02讲 平面向量的数量积及其应用4种题型（2）
