1 . 已知数列的通项公式为．
(1)问是不是这个数列的项？如果是，为第几项；如果不是，请说明理由；
(2)判断数列的增减性并证明．

2 . 基本不等式：对于2个正数，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即，当且仅当时，等号成立.可以推广到一般的情形：对于个正数，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，.当且仅当时，等号成立.若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①；②为单调数列，则称数列具有性质.
(1)若；求数列的最小项；
(2)若数列的前项和为，判断数列是否具有性质，并说明理由；
(3)若，求证：数列具有性质.

3 . 已知数列的首项为，前项和为，且.
(1)求证：数列为等差数列.
(2)若数列公差为，当取最小值时，求的值.

4 . 已知是等差数列，是递增的等比数列.，，.
(1)求数列和的通项公式及；
(2)若数列满足，，
（ⅰ）求证：为等比数列；
（ⅱ）设，对，都有恒成立，求实数的取值范围.

5 . 已知数列，若，且.
(1)求证：是等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)若，且数列的前项和为，求证：.

6 . 设正整数集合，且 ．若对于任意的 ，当 时，都有 ，则称集合 A 为“子列封闭集合”．
(1)若 ，判断集合 A 是否为“子列封闭集合”，说明理由；
(2)若数列的最大项为，且，证明：集合 A 不是“子列封闭集合”；
(3)设为数列，若 ，且集合 A 为“子列封闭集合”，求数列 的通项公式．

7 . 已知数列满足，．
(1)证明：数列为递增数列．
(2)证明：
(3)证明：

8 . 对于数列，若满足（，p是与n无关的常数），则称数列是“比等差数列”，常数p称为此数列的“比差”．
(1)已知数列，，判断数列，是否为“比等差数列”；
(2)证明“比差”为零的“比等差数列”一定是等比数列；
(3)“比差”为正的“比等差数列”是否一定是递增数列？如果是，给出证明；如果不是，请举出反例．

9 . 已知数列满足，．
(1)计算：，猜想数列的通项公式，并证明你的结论；
(2)若，，求k的取值范围．

10 . 已知数列满足，，其中.
(1)设，求证：数列是等差数列.
(2)在（1）的条件下，若，是否存在实数，使得对任意的，都有，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.