1 . 数列的前项和，首项为1，对于任意正整数，都有，则______．

2 . 已知数列满足，
(1)计算的值；
(2)令，求证：数列是等比数列；
(3)设、分别为数列、的前项和，是否存在实数，使得数列为等差数列?若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由．

3 . 已知数列满足，且对任意都有.
(1)设，证明：是等差数列；
(2)设，求数列的前项和.

4 . 已知数列的各项均为正数，且.若的前项之积为，则满足的正整数的最大值为（       ）

A．12

B．11

C．10

D．9

5 . 现代排球赛为5局3胜制，每局25分，决胜局15分. 前4局比赛中，一队只有赢得至少25分，并领先对方2分时，才胜1局. 在第5局比赛中先获得15分并领先对方2分的一方获胜. 在一个回合中，赢的球队获得1分，输的球队不得分，且下一回合的发球权属于获胜方. 经过统计，甲、乙两支球队在每一个回合中输赢的情况如下：当甲队拥有发球权时，甲队获胜的概率为；当乙队拥有发球权时，甲队获胜的概率为.
(1)假设在第1局比赛开始之初，甲队拥有发球权，求甲队在前3个回合中恰好获得2分的概率；
(2)当两支球队比拼到第5局时，两支球队至少要进行15个回合，设甲队在第个回合拥有发球权的概率为. 假设在第5局由乙队先开球，求在第15个回合中甲队开球的概率，并判断在此回合中甲、乙两队开球的概率的大小.

6 . 已知数列满足: .
(1)求，由此猜想并直接写出数列的通项公式;
(2)记，求;
(3)在（2）的条件下，记，证明: 当时，.

7 . 已知非零数列，点在函数的图象上，则数列的前2024项和为__________.

8 . 已知数列中，，点在直线上，数列中，，且对任意，满足：.
(1)分别求数列和的通项公式；
(2)请比较与的大小，并证明你的结论.

9 . 已知数列，，且满足，.
(1)证明：数列是常数列，并求的通项公式；
(2)设，求数列前项的和.

10 . 已知数列满足，，当时，______；若数列的所有项仅取有限个不同的值，则满足题意的所有实数a的值为______.