1 . 在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，点在上，且.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）点，过点的直线交于、两点（不在坐标轴上），直线、分别与轴交于、两点，若与的面积相等，求直线的方程.

2 . 已知椭圆，在椭圆上.
（1） 证明：椭圆在处的切线方程为；
（2）过椭圆上两点作椭圆的切线交于，且这两切线斜率之积为.
①证明：点落在椭圆上；
②若过作关于椭圆的切线交椭圆于、，且是定值，求.

3 . 如图，直四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁，底面ABCD是边长为6的正方形，M，N分别为线段AC₁，D₁C上的动点，若直线MN与平面B₁BCC₁没有公共点或有无数个公共点，点E为MN的中点，则E点的轨迹长度为_____．

4 . 已知椭圆的离心率，、是其左、右焦点.点是椭圆上的一个动点，延长线段至点，使得，若的最小值为，则椭圆的方程为_____.

5 . 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图），给出下列三个结论：

①曲线恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线上任意一点到原点的距离都不超过.
③曲线所围成的“花形”区域的面积小于4.
其中，所有正确结论的序号是_______.

6 . 已知两点、，直线、相交于点，且这两条直线的斜率之积为，则点的轨迹方程为________.

7 . 由方程确定曲线所围成的区域的面积是________．

8 . 已知定点，抛物线上有一动点，点为线段的中点，求点的轨迹方程

9 . 已知定点和曲线上的动点；
（1）求线段的中点的轨迹方程；
（2）求直线被曲线截得线段的长.

10 . 双曲线：的左、右焦点分别为、，且抛物线：的焦点与双曲线的焦点重合，若双曲线与抛物线的交点满足，则双曲线的离心率______.