1 . 已知椭圆的焦距与短轴长相等，且点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点P为椭圆C上异于左、右顶点A、B的任意一点，过原点O作直线PA的垂线交直线PB于点M，设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为.
①求证：与之积为常数；
②求点M的轨迹方程.

2 . 已知点是圆上一动点，作轴，垂足为，且.
（1）求动点轨迹的方程；
（2）已知直线，为轨迹所表示的曲线上一动点，若点到直线距离的最小值为.求实数的值.

3 . 已知动圆和定圆外切，和定直线相切.
（1）求该动圆圆心的轨迹的方程；
（2）过点的直线与交于两点，在曲线上存在一点，使得为定值，求出点的坐标.

4 . 设椭圆方程为，过点的直线l交椭圆于点A，B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：
（1）动点P的轨迹方程；
（2）的最小值与最大值.

5 . 已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹曲线为.
（1）求的方程，并说明是什么曲线；
（2）设过定点的直线与曲线相交于，两点，若，当时，求面积的取值范围.

6 . 如图已知每条棱长都为3的直平行六面体中，，长为2的线段的一个端点在上运动，另一个端点在底面上运动，则中点的轨迹与直平行六面体的面所围成的几何体的体积为________．

7 . （1）若动点到定点的距离与到定直线：的距离之比为，求证：动点的轨迹是椭圆；
（2）设（1）中的椭圆短轴的上顶点为，试找出一个以点为直角顶点的等腰直角三角形，并使得、两点也在椭圆上，并求出的面积；
（3）对于椭圆(常数)，设椭圆短轴的上顶点为，试问：以点为直角顶点，且、两点也在椭圆上的等腰直角三角形有几个？

8 . 如图所示，长方体，底面是边长为的正方形，，为中点.

（1）求四棱锥的体积；
（2）若点在正方形内（包括边界），且三棱锥体积是四棱锥体积的，请指出满足要求的点的轨迹，并在图中画出轨迹图形.

9 . 在直角坐标平面内，已知点，.设为该平面上的一个动点，若，则点的轨迹方程为_______.

10 . 已知点在抛物线：上．
（1）求的方程；
（2）过上的任一点（与的顶点不重合）作轴于，试求线段中点的轨迹方程；
（3）在上任取不同于点的点，直线与直线交于点，过点作轴的垂线交抛物线于点，求面积的最小值．