1 . 已知点在椭圆上，设点为的短轴的上、下顶点，点是椭圆上任意一点，且，的斜率之积为.
(1)求的方程；
(2)过的两焦点、作两条相互平行的直线，交于，和，，求四边形面积的取值范围.

2 . 已知椭圆的焦距为，且过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆相交于两点，设直线的斜率分别为，试探究是否为定值？请说明理由.

3 . 已知椭圆的离心率为，且经过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，分别为椭圆的上顶点和右焦点，直线与椭圆交于点，，到直线，的距离分别为和，求证：.

4 . 已知、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知，两点的坐标分别是，，若过点的直线与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过点，求出直线的所有方程.

5 . 已知椭圆C：的离心率为，在椭圆上.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)椭圆左顶点为A，过点且不平行于x轴的直线l交椭圆C于P，Q两点，直线AP，AQ与直线的交点分别为M，N，试判断点B与以MN为直径的圆的位置关系，并说明理由.

6 . 已如的右焦点为，是椭圆上关于原点对称的两个动点，当点的坐标为时，的周长恰为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作直线交椭圆于两点，且，求面积的最大值.

7 . 已知椭圆的上、下顶点分别为，点在上，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设坐标原点为，若不经过点的直线与相交于两点，直线与的斜率互为相反数，当的面积最大时，求直线的方程.

8 . 已知椭圆过点，且离心率为
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若直线l与椭圆E相切，过点作直线l的垂线，垂足为N，O为坐标原点，证明：为定值.

9 . 已知椭圆的焦点在轴上，它的离心率为，且经过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆的左焦点为，过点的直线与椭圆交于，两点，且过点，和点的圆的圆心在轴上，求直线的方程及此圆的圆心坐标.

10 . 已知点在椭圆上，且点到椭圆左顶点的距离是到右顶点距离的倍
(1)求椭圆的方程
(2)点是椭圆上的动点，且到动直线与的距离均为，直线与椭圆相交于两点，直线与椭圆相交于两点，求证：为定值．