1 . 已知椭圆：的短轴长为，且椭圆经过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点的直线与椭圆相交于，两点，且，求直线的方程．

2 . 已知椭圆的右焦点与点连线的斜率为2，且点在椭圆上(其中为的离心率)．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)已知点，过点的直线与交于A，B两点，直线DA，DB分别交于M，N两点，试问直线MN的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

3 . 已知椭圆的左、右顶点分别为A、B，且，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若E，F为椭圆C上异于A，B的两个不同动点，且直线与的斜率满足，证明：直线恒过定点．

4 . 已知椭圆的左、右焦点为，，且经过点，点为椭圆的右顶点，直线与椭圆交于（异于点）两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若以为直径的圆过点，求证直线过定点，并求该定点坐标.

5 . 已知椭圆经过点和．
(1)求的方程；
(2)若点（异于点）是上不同的两点，且，证明直线过定点，并求该定点的坐标．

6 . 已知椭圆 的左、右焦点分别为，是椭圆上一点，且轴.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点的直线交椭圆于两点，且，求直线的方程.

7 . 已知椭圆经过点，且其右焦点为，过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设为坐标原点，线段上是否存在点，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；
(3)过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为，试证明：直线过定点．

8 . 已知椭圆：，为椭圆的右焦点，三点，，中恰有两点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点为椭圆的左右端点，过点作直线交椭圆于，两点（不同于），求证：直线与直线的交点在定直线上运动，并求出该直线的方程.

9 . 已知椭圆过点，点A为下顶点，且AM的斜率为．
   
(1)求椭圆E的方程；
(2)如图，过点作一条与y轴不重合的直线，该直线交椭圆E于C、D两点，直线AD，AC分别交x轴于H，G两点，O为坐标原点．证明：为定值，并求出该定值．

10 . 已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于两点，求两点的横坐标之积．