1 . 已知双曲线
，点
，经过点M的直线交双曲线C于不同的两点A、B，过点A，B分别作双曲线C的切线，两切线交于点E．（二次曲线
在曲线上某点
处的切线方程为
）
(1)求证：点E恒在一条定直线L上；
(2)若两直线与L交于点N，
，求
的值；
(3)若点A、B都在双曲线C的右支上，过点A、B分别做直线L的垂线，垂足分别为P、Q，记
，
，
的面积分别为
，问：是否存在常数m，使得
？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
，点，经过点M的直线交双曲线C于不同的两点A、B，过点A，B分别作双曲线C的切线，两切线交于点E．（二次曲线在曲线上某点处的切线方程为）(1)求证：点E恒在一条定直线L上；
(2)若两直线与L交于点N，
，求的值；(3)若点A、B都在双曲线C的右支上，过点A、B分别做直线L的垂线，垂足分别为P、Q，记
，，的面积分别为，问：是否存在常数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
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2024-02-05更新
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1148次组卷
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2卷引用：辽宁省大连市2023-2024学年高二上学期期末数学试题
解题方法
2 . 已知双曲线
的左、右焦点分别为
，过
作直线
交双曲线右支于
两点，当直线与
轴垂直时，
．过作直线
分别交双曲线两支于
两点，且
的最小值为
．
(1)求双曲线
的方程；
(2)设线段
的中点分别为
，记
的面积为
，
的面积为
（
为双曲线的中心），若直线
的斜率分别为
且
，求证：
为定值，并求出这个定值．
的左、右焦点分别为，过作直线交双曲线右支于两点，当直线与轴垂直时，．过作直线分别交双曲线两支于两点，且的最小值为．(1)求双曲线
的方程；(2)设线段
的中点分别为，记的面积为，的面积为（为双曲线的中心），若直线的斜率分别为且，求证：为定值，并求出这个定值．
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3 . 已知双曲线
的左、右焦点分别为，点P在C的右支上，过点P的直线l与C的两条渐近线分别交于点M，N，则下列说法正确的是（ ）
的左、右焦点分别为，点P在C的右支上，过点P的直线l与C的两条渐近线分别交于点M，N，则下列说法正确的是（ ）A． 的最小值为4 |
| B．与C仅有公共点P的直线共有三条 |
C．若 ，且P为线段MN的中点，则l的方程为 |
D．若l与C相切于点 ，则M，N的纵坐标之积为 |
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4 . 已知双曲线
（
，
）的离心率为2，且经过点
.
(1)求双曲线的方程；
(2)点
，
在双曲线上，且
，
，
为垂足.证明：①直线
过定点；②存在定点
，使得
为定值.
（，）的离心率为2，且经过点.(1)求双曲线
的方程；(2)点
，在双曲线上，且，，为垂足.证明：①直线过定点；②存在定点，使得为定值.
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名校
解题方法
5 . 已知双曲线
的实轴长为
，直线
交双曲线于
两点，
.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知点
，过点
的直线
与双曲线交于
两点，且直线
与直线
的斜率存在，分别记为
.问：是否存在实数
，使得
为定值？若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由.
的实轴长为，直线交双曲线于两点，.(1)求双曲线
的标准方程；(2)已知点
，过点的直线与双曲线交于两点，且直线与直线的斜率存在，分别记为.问：是否存在实数，使得为定值？若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由.
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2024-01-30更新
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228次组卷
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3卷引用：浙江省台州市2023-2024学年高二上学期1月期末质量评估数学试题
6 . 已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为
，离心率为
．
(1)求C的方程；
(2)记C的右顶点为A，过点A作直线MA，NA与C的左支交于M，N两点，且
，，D为垂足．证明：存在定点Q，使得
为定值，并求出Q点坐标．
，离心率为．(1)求C的方程；
(2)记C的右顶点为A，过点A作直线MA，NA与C的左支交于M，N两点，且
，，D为垂足．证明：存在定点Q，使得为定值，并求出Q点坐标．
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解题方法
7 . 已知双曲线
的离心率是3，点
在上.
(1)求的标准方程；
(2)已知直线与相切，且与的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，试问
是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
的离心率是3，点在上.(1)求
的标准方程；(2)已知直线
与相切，且与的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
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2024-01-25更新
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252次组卷
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2卷引用：广东省深圳市深圳科学高中2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题
8 . 已知离心率为
的双曲线
经过点
.
(1)求的方程；
(2)如图，点为双曲线上的任意一点，为原点，过点作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于
、
两点，求证：平行四边形
的面积为定值.
的双曲线经过点.(1)求
的方程；(2)如图，点
为双曲线上的任意一点，为原点，过点作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于、两点，求证：平行四边形的面积为定值.
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2024-01-25更新
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306次组卷
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2卷引用：云南省昆明市官渡区2023-2024学年高二上学期1月期末学业水平考试数学试题
解题方法
9 . 已知曲线上的动点满足
，且
.
(1)求的方程；
(2)已知直线与交于
两点，过分别作的切线，若两切线交于点
，且点在直线
上，证明：经过定点.
上的动点满足，且.(1)求
的方程；(2)已知直线
与交于两点，过分别作的切线，若两切线交于点，且点在直线上，证明：经过定点.
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10 . 双曲线
和
的方程均满足
，其中的焦点在轴上，顺次连接的两个焦点和的两个顶点恰好可以构成一个面积为4的正方形．
(1)求双曲线和的方程．
(2)若为左支上一动点且不在轴上，过作的切线交
于
两点，过作的平行线交于，顺次连接
四点构成四边形
，求证：四边形的面积为定值．
和的方程均满足，其中的焦点在轴上，顺次连接的两个焦点和的两个顶点恰好可以构成一个面积为4的正方形．(1)求双曲线
和的方程．(2)若
为左支上一动点且不在轴上，过作的切线交于两点，过作的平行线交于，顺次连接四点构成四边形，求证：四边形的面积为定值．
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