1 . 如图，已知椭圆
和抛物线
，
的焦点
是
的上顶点，过的直线交于
、
两点，连接
、
并延长之，分别交于
、
两点，连接
，设
、
的面积分别为
、
．
的值；
(2)求
的值；
(3)求
的取值范围.
和抛物线，的焦点是的上顶点，过的直线交于、两点，连接、并延长之，分别交于、两点，连接，设、的面积分别为、．
的值；(2)求
的值；(3)求
的取值范围.
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2024-05-06更新
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535次组卷
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2卷引用：上海市闵行区2024届高三下学期学业质量调研（二模）数学试卷
名校
解题方法
2 . 已知
，曲线
、
的方程分别为
和
，与在第一象限内相交于点
．
(1)若
，求的值；
(2)若
，定点
的坐标为
，动点在直线
上，动点
在曲线上，求
的最小值；
(3)已知点
、
在曲线上，点、关于直线的对称点分别为
、
，设
的最大值为
，
的最大值为
，若
，求实数的取值范围．
，曲线、的方程分别为和，与在第一象限内相交于点．(1)若
，求的值；(2)若
，定点的坐标为，动点在直线上，动点在曲线上，求的最小值；(3)已知点
、在曲线上，点、关于直线的对称点分别为、，设的最大值为，的最大值为，若，求实数的取值范围．
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2023-12-12更新
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378次组卷
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3卷引用：上海市闵行区2024届高三上学期学业质量调研（一模）数学试卷
3 . 如图，已知椭圆
：
的离心率为
，
点为其左顶点．过A的直线
交抛物线
于B、C两点，C是AB的中点．
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：点C的横坐标是定值，并求出该定值；
(3)若直线m过C点，其倾斜角和直线l的倾斜角互补，且交椭圆于M，N两点，求p的值，使得
的面积最大．
：的离心率为，点为其左顶点．过A的直线交抛物线于B、C两点，C是AB的中点． (1)求椭圆
的方程；(2)求证：点C的横坐标是定值，并求出该定值；
(3)若直线m过C点，其倾斜角和直线l的倾斜角互补，且交椭圆于M，N两点，求p的值，使得
的面积最大．
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2023-06-05更新
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825次组卷
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4卷引用：上海市闵行区闵行中学2024届高三上学期12月月考数学试题
名校
解题方法
4 . 已知曲线
，点
，
是曲线上任意两个不同点，若
，则称，两点心有灵犀，若，始终心有灵犀，则
的最小值
的正切值
__________ ．
，点，是曲线上任意两个不同点，若，则称，两点心有灵犀，若，始终心有灵犀，则的最小值的正切值
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2023-04-17更新
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926次组卷
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6卷引用：上海市闵行（文绮）中学2023-2024学年高三下学期3月月考数学试卷
名校
解题方法
5 . 如图所示，一种建筑由外部的等腰梯形PQRS、内部的抛物线以及水平的杠杆AB组成，其中PS和QR分别与抛物线相切于A，B，A，B分别是PS和QR的中点.梯形的高和CD的长度都是4米.
(1)求杠杆AB的长度；
(2)求等腰梯形的周长.
(1)求杠杆AB的长度；
(2)求等腰梯形的周长.
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名校
6 . 过点
作直线与抛物线
有且仅有一个交点，这样的直线可以作出_______ 条.
作直线与抛物线有且仅有一个交点，这样的直线可以作出
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名校
解题方法
7 . 有一正方形景区
，
所在直线是一条公路，该景区的垃圾可送到位于点的垃圾回收站或公路上的流动垃圾回收车，于是，景区分为两个区域
和
，其中中的垃圾送到流动垃圾回收车较近，中的垃圾送到垃圾回收站较近，景区内和的分界线为曲线，现如图所示建立平面直角坐标系，其中原点
为
的中点，点的坐标为
．
(1)求景区内的分界线的方程；
(2)为了证明与的面积之差大于1，两位同学分别给出了如下思路，思路①：求分界线在点
处的切线方程，借助于切线与坐标轴及景区边界所围成的封闭图形面积来证明；思路②：设直线
：
，分界线恒在直线的下方（可以接触），求
的最小值，借助于直线与坐标轴及景区边界所围成的封闭图形面积来证明．请选择一个思路，证明上述结论．
，所在直线是一条公路，该景区的垃圾可送到位于点的垃圾回收站或公路上的流动垃圾回收车，于是，景区分为两个区域和，其中中的垃圾送到流动垃圾回收车较近，中的垃圾送到垃圾回收站较近，景区内和的分界线为曲线，现如图所示建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为．(1)求景区内的分界线
的方程；(2)为了证明
与的面积之差大于1，两位同学分别给出了如下思路，思路①：求分界线在点处的切线方程，借助于切线与坐标轴及景区边界所围成的封闭图形面积来证明；思路②：设直线：，分界线恒在直线的下方（可以接触），求的最小值，借助于直线与坐标轴及景区边界所围成的封闭图形面积来证明．请选择一个思路，证明上述结论．
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8 . 如图,直线
与抛物线
相交于不同的两点
,且
（
为正常数）,线段中点为.设
是与直线平行且与抛物线恰有唯一交点的直线,记该交点为.
(1)用
表示出点
的坐标,并证明
垂直于
轴;
(2)求
的面积（只与有关,与无关）;
(3)张三同学在完成上述两小题后,分别连接
,再作与分别平行且与抛物线交点唯一的直线,交点分别为
,他立即写出了
的面积,由此求出了直线与抛物线所围成图形的面积,你认为张三能做到吗？若能,请你也求出该图形的面积;若不能,请说明理由.
与抛物线相交于不同的两点,且（为正常数）,线段中点为.设是与直线平行且与抛物线恰有唯一交点的直线,记该交点为.(1)用
表示出点的坐标,并证明垂直于轴;(2)求
的面积（只与有关,与无关）;(3)张三同学在完成上述两小题后,分别连接
,再作与分别平行且与抛物线交点唯一的直线,交点分别为,他立即写出了的面积,由此求出了直线与抛物线所围成图形的面积,你认为张三能做到吗？若能,请你也求出该图形的面积;若不能,请说明理由.
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9 . 已知抛物线
的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是（ ）
的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是（ ）| A．若O为线段PQ中点，则PF＝1 | B．若PF＝4，则OP＝2 |
| C．存在直线l，使得PF⊥QF | D．△PFQ面积的最小值为2 |
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名校
解题方法
10 . 如图，直线与抛物线相交于不同的两点
、
，且（为定值），线段的中点为，与直线平行的抛物线的切线的切点为．
（1）用
、表示出点、点的坐标，并证明垂直于轴；，
（2）求的面积（只与有关，与、无关）；
（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连
、
，再作与、平行的切线，切点分别为
、，小张马上写出了
、
的面积，由此小张求出了直线与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．
与抛物线相交于不同的两点、，且（为定值），线段的中点为，与直线平行的抛物线的切线的切点为．（1）用
、表示出点、点的坐标，并证明垂直于轴；，（2）求
的面积（只与有关，与、无关）；（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连
、，再作与、平行的切线，切点分别为、，小张马上写出了、的面积，由此小张求出了直线与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．
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