【推荐1】在三棱台中，为中点，，，.

(1)求证：平面；
(2)若，，平面与平面所成二面角大小为，求三棱锥的体积.

【推荐2】如图，在多面体中，两两垂直，四边形是边长为2的正方形，ACDGEF，且.

（1）证明：平面.
（2）求二面角的余弦值.

【推荐3】如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，，，平面平面，E，F分别为，的中点.

   

(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离.

【推荐1】在陕西汉中勉县的汉江河与定军山武侯坪一带，经常出土有铜、铁扎马钉等兵器文物.扎马钉（如题21图（1））是三国时蜀汉的著名政治家、军事家诸葛亮所发明的一种对付骑兵的武器，状若荆刺，故学名蒺藜，有铜、铁两种.扎马钉有四个锋利的尖爪，随手一掷，三尖撑地，一尖直立向上，推倒上尖，下尖又起，始终如此，使触者不能避其锋而被刺伤.即总有一个尖垂直向上，三尖对称支承于地.简化扎马钉的结构，如图（2），记组成该“钉”的四条等长的线段公共点为，钉尖为（）．

（Ⅰ）判断四面体的形状特征；
（Ⅱ）若某个出土的扎马钉因年代久远，有一尖爪受损，其长度仅剩其他尖爪长度的（即），如图（3），将，，置于地面，求与面所成角的正弦值.

【推荐2】如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，且满足，，平面平面．为线段的中点，为线段上的动点．

(1)求证：平面平面；
(2)求SB与平面ABCD所成角的正切值；
(3)设，当二面角的大小为60°时，求的值．

【推荐3】如图，圆台O₁O₂的轴截面为等腰梯形A₁A₂B₂B₁，A₁A₂B₁B₂，A₁A₂＝2B₁B₂，A₁B₁＝2，圆台O₁O₂的侧面积为6π.若点C，D分别为圆O₁，O₂上的动点且点C，D在平面A₁A₂B₂B₁的同侧.

（1）求证：A₁C⊥A₂C；
（2）若∠B₁B₂C＝60°，则当三棱锥C﹣A₁DA₂的体积取最大值时，求A₁D与平面CA₁A₂所成角的正弦值.