【推荐1】设函数有两个极值点 ，且；
(1)求实数a的取值范围；
(2)证明：.

【推荐2】已知函数
（1）讨论函数的单调性并求其最大值;
（2）若，求证：

【推荐1】已知函数f（x）＝x²e^x﹣b，其中b∈R．
（Ⅰ）证明：对于任意x₁，x₂∈（﹣∞，0]，都有f（x₁）﹣f（x₂）；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的零点个数（结论不需要证明）．

【推荐2】已知函数，.
(1)若不等式的解集为，求不等式的解集；
(2)若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【推荐3】已知函数.
（1）若，求函数的极值，并指出是极大值还是极小值；
（2）若，求函数在上的最大值和最小值；
（3）若，求证：在区间上函数的图象在函数的图象的下方.

【推荐1】某农场灌溉水渠长为1000米，横截面是等腰梯形，如图，在等腰梯形中，，，其中渠底宽为1米，渠口宽为3米，渠深米.根据国家对农田建设补贴的政策，该农场计划在原水渠的基础上分别沿射线方向加宽、方向加深，若扩建后的水渠横截面仍是等腰梯形，且面积是原面积的2倍.设扩建后渠深为米，若挖掘费用为每立方米万元，水渠的内壁（渠底和梯形两腰，端也要重新铺设）铺设混凝土的费用为每平方米万元.

（1）用表示渠底的长度，并求出的取值范围；
（2）问渠深为多少米时，建设费用最低？

【推荐2】如图1，一条宽为的两平行河岸有村庄和发电站，村庄与，的直线距离都是，与河岸垂直，垂足为．现要铺设电缆，从发电站向村庄，供电．已知铺设地下电缆、水下电缆的费用分别是万元/、4万元/．

（1） 如果村庄与之间原来铺设有旧电缆 （图1中线段所示），只需对其进行改造即可使用．已知旧电缆的改造费用是0.5万元/．现决定在线段上找得一点建一配电站，分别向村庄，供电，使得在完整利用，之间旧电缆进行改造的前提下，并要求新铺设的水下电缆长度最短，试求该方案总施工费用的最小值，并确定点的位置；
（2）. 如图2，点E在线段上，且铺设电缆线路为．若，试用表示出总施工费用（万元）的解析式，并求的最小值．

【推荐3】图①是高桥中学的校门，它由上部屋顶，和下部两根立柱组成，如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面和是全等的等腰梯形，左右两坡屋面和是全等的三角形.点在平面和上的射影分别为H、M，已知，，梯形的面积是面积的4倍，设.

   

(1)求屋顶面积S关于的函数关系式；
(2)已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为（为正的常数），下部两根立柱的总造价与其单根的高度成正比，比例系数为，假设校门的总高度为3m，试问，当为何值时，校门的总造价（上部屋顶和下部两根立柱）最低?