如果一个数列从第
项起，每一项与它得前一项得差都大于，则称这个数列为“
”数列.
（1）若数列
为“数列”，且
，
，
，求实数
的取值范围；
（2）是否存在首项为
的等差数列为“数列”，且其前
项和
满足
？若存在，请求出的通项公式；若不存在，请说明理由；
（3）已知等比数列的每一项均为正整数，且为“数列”，
，
，当数列
不是“数列”时，试判断数列
是否为“数列”，并说明理由.
项起，每一项与它得前一项得差都大于，则称这个数列为“”数列.（1）若数列
为“数列”，且，，，求实数的取值范围；（2）是否存在首项为
的等差数列为“数列”，且其前项和满足？若存在，请求出的通项公式；若不存在，请说明理由；（3）已知等比数列
的每一项均为正整数，且为“数列”，，，当数列不是“数列”时，试判断数列是否为“数列”，并说明理由.
更新时间：2021-10-26 16:37:06
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(0.15)
【推荐1】已知数列
，
，
，
．记
．
求证：（Ⅰ）当
时（Ⅰ）
；
（Ⅱ）
；
（Ⅲ）
，，，．记．求证：（Ⅰ）当
时（Ⅰ）；（Ⅱ）
；（Ⅲ）
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(0.15)
名校
【推荐2】对于数列，如果存在正整数
，使得对任意
，都有
，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的周期.若周期数列
满足：存在正整数
，对每一个
，都有
，我们称数列
和
为“同根数列”.
(1)判断数列
是否为周期数列.如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；
(2)若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是
和
，求的最大值.
，如果存在正整数，使得对任意，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的周期.若周期数列满足：存在正整数，对每一个，都有，我们称数列和为“同根数列”.(1)判断数列
是否为周期数列.如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；(2)若
和是“同根数列”，且周期的最小值分别是和，求的最大值.
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(0.15)
名校
解题方法
【推荐3】设数列{an}和{bn}的项数均为m，则将数列{an}和{bn}的距离定义为
.
（1）给出数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；
（2）设A为满足递推关系an+1=
的所有数列{an}的集合，{bn}和{cn}为A中的两个元素，且项数均为m，若b1=2，c1=3，{bn}和{cn}的距离小于2016，求m的最大值；
（3）记S是所有7项数列{an|1≤n≤7，an=0或1}的集合，T
S，且T中任何两个元素的距离大于或等于3，证明：T中的元素个数小于或等于16.
.（1）给出数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；
（2）设A为满足递推关系an+1=
的所有数列{an}的集合，{bn}和{cn}为A中的两个元素，且项数均为m，若b1=2，c1=3，{bn}和{cn}的距离小于2016，求m的最大值；（3）记S是所有7项数列{an|1≤n≤7，an=0或1}的集合，T
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(0.15)
名校
解题方法
【推荐1】对于向量
，若
，
，
三数互不相等，令向量
，其中
，
，
，
.
(1)当
时，试写出向量
；
(2)证明：对于任意的
，向量
中的三个数
，
，
至多有一个为0；
(3)若
，证明：存在正整数
，使得
.
，若，，三数互不相等，令向量，其中，，，.(1)当
时，试写出向量；(2)证明：对于任意的
，向量中的三个数，，至多有一个为0；(3)若
，证明：存在正整数，使得.
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(0.15)
名校
【推荐2】把正整数1，2，3，…，n按任意顺序排成一行，得到数列，称数列为1，2，3，…，n的生成数列．
(1)若是1，2，3，…，8的生成数列，记
，数列所有项的和为S，求S所有可能取值的和；
(2)若是1，2，3，…，10的生成数列，记
，若数列中的最小项为T．
①证明：
；
②求T的最大值．
，称数列为1，2，3，…，n的生成数列．(1)若
是1，2，3，…，8的生成数列，记，数列所有项的和为S，求S所有可能取值的和；(2)若
是1，2，3，…，10的生成数列，记，若数列中的最小项为T．①证明：
；②求T的最大值．
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的前
.
，求证：
，
，
必可以被分为1组或2组，使得每组所有数的和小于1；
，求证：
必可以被分为
），使得每组所有数的和小于1．
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【推荐1】已知数列 
， 数列 
， 其中 
， 且 
， 
． 记 
的前 项和分别为 
， 规定 
．记 
，且
，
， 且 
(1)若
，
，写出 
；
(2)若
，写出所有满足条件的数列 
， 并说明理由；
(3)若
， 且 
． 证明： 
， 使得 
．
， 数列 ， 其中 ， 且 ， ． 记 的前 项和分别为 ， 规定 ．记 ，且 ，， 且 (1)若
，，写出 ；(2)若
，写出所有满足条件的数列 ， 并说明理由；(3)若
， 且 ． 证明： ， 使得 ．
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【推荐2】设为无穷数列，给定正整数
，如果对于任意
，都有
，则称数列具有性质
．
(1)判断下列两个数列是否具有性质
；（结论不需要证明）
①等差数列
：5，3，1，…；②等比数列
：1，2，4，…．
(2)已知数列具有性质，
，
，且由该数列所有项组成的集合
，求的通项公式；
(3)若既具有性质
又具有性质的数列一定是等差数列，求的最小值．
为无穷数列，给定正整数，如果对于任意，都有，则称数列具有性质．(1)判断下列两个数列是否具有性质
；（结论不需要证明）①等差数列
：5，3，1，…；②等比数列：1，2，4，…．(2)已知数列
具有性质，，，且由该数列所有项组成的集合，求的通项公式；(3)若既具有性质
又具有性质的数列一定是等差数列，求的最小值．
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，若存在
，使得
对任意
都成立，则称数列
折叠数列”.
，
，判断数列
，求所有的实数
，使得数列
折叠数列；
，是否存在数列
折叠数列，且
个不同的值，证明你的结论.
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(0.15)
名校
【推荐1】特征根方程法是求一类特殊递推关系数列通项公式的重要方法．一般地，若数列满足
，则数列的通项公式可按以下步骤求解：①
对应的特征方程为
，该方程有两个不等实数根
；②令
，其中，为常数，利用
求出A，B，可得的通项公式．已知数列满足
．
(1)求数列的通项公式；
(2)求满足不等式
的最小整数的值；
(3)记数列的所有项构成的集合为M，求证：
都不是
的元素．
满足，则数列的通项公式可按以下步骤求解：①对应的特征方程为，该方程有两个不等实数根；②令，其中，为常数，利用求出A，B，可得的通项公式．已知数列满足．(1)求数列
的通项公式；(2)求满足不等式
的最小整数的值；(3)记数列
的所有项构成的集合为M，求证：都不是的元素．
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【推荐2】已知函数
的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧．
(1)求实数m的取值范围：
(2)令
，求
的值：（其中
表示不超过t的最大整数，例如：
，
）.
(3)对（2）中的t，求函数
的取值范围．
的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧．(1)求实数m的取值范围：
(2)令
，求的值：（其中表示不超过t的最大整数，例如：，）.(3)对（2）中的t，求函数
的取值范围．
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，
．
时，设数列
时，
．
