如图所示，已知矩形
和矩形
所在的平面互相垂直，
，M，N分别是对角线
，
上异于端点的动点，且
.
(1)求证：直线
平面
；
(2)当
的长最小时，求二面角
的余弦值．
和矩形所在的平面互相垂直，，M，N分别是对角线，上异于端点的动点，且.(1)求证：直线
平面；(2)当
的长最小时，求二面角的余弦值．
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更新时间：2022-03-10 00:23:48
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较难
(0.4)
【推荐1】如图，已知三棱锥A-BPC中，
，M为AB的中点，D为PB的中点，且
为正三角形.
（1）求证：
平面APC；
（2）若
，
，求三棱锥D-BCM的体积.
，M为AB的中点，D为PB的中点，且为正三角形.（1）求证：
平面APC；（2）若
，，求三棱锥D-BCM的体积.
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐2】如图甲所示，
是梯形的高，
，
，
，先将梯形沿
折起如图乙所示的四棱锥
，使得
.
（1）在棱
上是否存在一点
，使得
平面
？若存在，请求出
的值，若不存在，请说明理由;
（2）点
是线段
上一动点，当直线
与
所成的角最小时，求二面角
的余弦值.
是梯形的高，，，，先将梯形沿折起如图乙所示的四棱锥，使得.（1）在棱
上是否存在一点，使得平面？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由;（2）点
是线段上一动点，当直线与所成的角最小时，求二面角的余弦值.
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的边长为
，将菱形
折起，得到三棱锥
，点
是棱
的中点，
）求证：
平面
）求证：平面
平面
）求三棱锥
的体积．
解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐1】如图，在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，M为CD中点，连接BM，CE交于点F，G为△ABE的重心．
(1)证明：
平面ABC
(2)已知平面ABC⊥BCDE，平面ACD⊥平面BCDE，BC=3，CD=6，当平面GCE与平面ADE所成锐二面角为60°时，求G到平面ADE的距离．
(1)证明：
平面ABC(2)已知平面ABC⊥BCDE，平面ACD⊥平面BCDE，BC=3，CD=6，当平面GCE与平面ADE所成锐二面角为60°时，求G到平面ADE的距离．
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(0.4)
【推荐2】已知四边形中，
，
，为
中点，连接，将
沿翻折到
，使得二面角
的平面角的大小为
．
（1）证明：
；
（2）已知二面角
的平面角的余弦值为
，求的大小及
的长．
中，，，为中点，连接，将沿翻折到，使得二面角的平面角的大小为．（1）证明：
；（2）已知二面角
的平面角的余弦值为，求的大小及的长．
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【推荐3】数学中的数，除了实数、复数之外，还有四元数．四元数在计算机图形学中有广泛应用，主要用于描述空间中的旋转．集合
中的元素
称为四元数，其中i,j,k都是虚数单位，d称为
的实部，
称为的虚部．两个四元数之间的加法定义为
．
两个四元数的乘法定义为：
,四元数的乘法具有结合律，且乘法对加法有分配律．对于四元数，若存在四元数
使得
，称是的逆，记为
．实部为0的四元数称为纯四元数，把纯四元数的全体记为W．
(1)设
,四元数．记
表示的共轭四元数．
（i）计算
；
（ii）若
，求
；
（iii）若
，证明：
；
(2)在空间直角坐标系中，把空间向量
与纯四元数
看作同一个数学对象．设
．
（i）证明：
;
（ii）若
是平面X内的两个不共线向量，证明：
是X的一个法向量．
中的元素称为四元数，其中i,j,k都是虚数单位，d称为的实部，称为的虚部．两个四元数之间的加法定义为．两个四元数的乘法定义为：
,四元数的乘法具有结合律，且乘法对加法有分配律．对于四元数，若存在四元数使得，称是的逆，记为．实部为0的四元数称为纯四元数，把纯四元数的全体记为W．(1)设
,四元数．记表示的共轭四元数．（i）计算
；（ii）若
，求；（iii）若
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与纯四元数看作同一个数学对象．设．（i）证明：
;（ii）若
是平面X内的两个不共线向量，证明：是X的一个法向量．
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【推荐1】在四棱锥
中，
平面，四边形是直角梯形，
，
，
，
，
，
，设
为棱
上一点，
.
（1）求证：当
时，
；
（2）试确定
的值使得二面角
为
.
中，平面，四边形是直角梯形，，，，，，，设为棱上一点，.（1）求证：当
时，；（2）试确定
的值使得二面角为.
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名校
【推荐2】如图1，在直角梯形ABCD中， AD∥BC，
，
．将△ABD沿BD折起，折起后点A的位置为点P，得到几何体P﹣BCD，如图2所示，且平面PBD⊥平面BCD，
（1）证明：PB⊥平面PCD；
（2）若AD=2，当PC和平面PBD所成角的正切值为
时，试判断线段BD上是否存在点E，使二面角D﹣PC﹣E平面角的余弦值为
？若存在，请确定其位置；若不存在，请说明理由.
，．将△ABD沿BD折起，折起后点A的位置为点P，得到几何体P﹣BCD，如图2所示，且平面PBD⊥平面BCD， （1）证明：PB⊥平面PCD；
（2）若AD=2，当PC和平面PBD所成角的正切值为
时，试判断线段BD上是否存在点E，使二面角D﹣PC﹣E平面角的余弦值为？若存在，请确定其位置；若不存在，请说明理由.
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中，底面
，
，
的延长线上一点，
平面
，设
.
和平面
上是否存在一点
，使
平面
的值；若不存在，请说明理由.
