【推荐1】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别是，，离心率，请再从下面两个条件中选择一个作为已知条件，完成下面的问题：①椭圆C过点；②以点为圆心，3为半径的圆与以点为圆心，1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上（只能从①②中选择一个作为已知）
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知过点的直线l交椭圆C于M，N两点，点N关于x轴的对称点为，且，M，三点构成一个三角形，求证：直线过定点，并求面积的最大值.

【推荐2】已知椭圆：过点，且离心率．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设的左、右焦点分别为，，过点作直线与椭圆交于，两点，，求的面积．

【推荐3】已知椭圆的焦距为，且过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设分别为椭圆的右顶点和上顶点，点是椭圆上在第一象限的任意一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与的面积分别为，求的取值范围．

【推荐1】椭圆，过原点的直线交椭圆于，两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连，并延长交椭圆于，若，求椭圆的离心率．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，焦点在x轴上的椭圆的右顶点和上顶点分别为为线段的中点，且．
（1）求椭圆的离心率；
（2）四边形内接于椭圆，．记直线的斜率分别为，求证：为定值．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，、、分别为椭圆的三个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点.

(1)若点在直线上，求椭圆的离心率；
(2)设直线与椭圆的另一个交点为，是线段的中点，椭圆的离心率为，试探究的值是否为定值（与，无关）.若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.

【推荐1】已知椭圆的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点．
(1)求椭圆M的方程；
(2)若直线与圆相切于点P，且交椭圆M于A，B两点，射线OP于椭圆M交于点Q，求的面积的最大值以及此时OQ的长度．

【推荐2】已知，为抛物线上的相异两点，且.

（1）若直线过，求的值；
（2）若直线的垂直平分线交轴与点，求面积的最大值.

【推荐3】已知椭圆的离心率为，其左､右焦点分别为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长为3．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于两点，射线交椭圆于点，若，求直线的方程．

【推荐1】已知动点到点的距离与它到直线的距离的比值为,设动点形成的轨迹为曲线..
（1）求曲线的方程;
（2）过点的直线与曲线交于两点,过点作,垂足为，过点作,垂足为,求的取值范围.

【推荐2】已知椭圆：的左、右顶点分别为，且左、右焦点分别为，，点为椭圆上的动点，在点的运动过程中，有且只有个位置使得为直角三角形，且的内切圆半径的最大值为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线交椭圆于，两点，记的中点为，求点到直线的距离的最大值.

【推荐3】已知椭圆的右焦点为，点是椭圆与轴正半轴的交点，点是椭圆与轴正半轴的交点，且，直线过圆的圆心，并与椭圆相交于两点，过点作圆的一条切线，与椭圆的另一个交点为.
(1)求椭圆的方程；
(2)求面积的最大值.