【推荐1】在数列中，，且，求其通项公式．

【推荐2】已知数列满足
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和．

【推荐3】已知数列满足，前项的和，且.
(1)写出，并求出数列的通项公式；
(2)在①；②这两个条件中任选一个补充在下面横线中，并加以解答.若数列满足___________，求实数使得数列是等差数列.
（注：如果求解了两个问题，则按照第一个问题解答给分）

【推荐1】已知数列的前项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，为的前项和，求证：．

【推荐2】某种电子玩具启动后，屏幕上的LED显示灯会随机亮起红灯或绿灯．在玩具启动前，用户可对（）赋值，且在第1次亮灯时，亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为．随后若第n（）次亮起的是红灯，则第n+1次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为；若第n次亮起的是绿灯，则第n+1次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为．
(1)若输入，记该玩具启动后，前3次亮灯中亮红灯的次数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)在玩具启动后，若某次亮灯为红灯，且亮红灯的概率在区间（，）内，则玩具会自动唱一首歌曲，否则不唱歌．现输入，则在前20次亮灯中，该玩具最多唱几次歌？

【推荐3】已知数列满足递推式，其中
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求证：是等比数列，并求数列的通项公式；
（Ⅲ）已知数列有，求数列的前项和

【推荐1】已知数列的前n项和公式为．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)令，求数列的前n项和；

【推荐2】已知数列为等比数列，，且，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．

【推荐3】设数列的各项均为正数，前项和为，已知.
(1)证明数列是等差数列，并求其通项公式；
(2)若､､…､都在函数的图像上，设数列的前项和为，求的值.

【推荐1】已知等差数列和等比数列满足，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）数列和中的所有项分别构成集合，，将的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前60项和.

【推荐2】已知满足：（）.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.

【推荐3】设是公差不为0的等差数列，其前项和为，已知成等比数列，.
（1）求的通项公式;
（2）设，数列的前项和为，求.