【推荐1】如图,等边三角形的边长为4,,分别为,的中点,沿MN将折起,使得平面与平面所成的二面角为,则四棱锥的体积为_______________

【推荐2】已知三棱锥中，，，，，若三棱锥的最大体积为，则三棱锥外接球的表面积为_____．

【推荐3】如图，在矩形中，为边上一点，分别为线段上一点，，，且．将沿折起，使得点到达点的位置，且平面平面，连接，如图，则五棱锥体积的最大值为______．

【推荐1】以下四个正方体中，点M为四等分点，其余各点为顶点或者中点，其中四点共面的有____.
①②
③④

【推荐2】阅读下面题目及其解答过程．
如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点．

（1）求证：；
（2）求证：．
解：（1）取的中点，连接,，如图所示．

在中，，分别为，的中点，
，．
由题意知，四边形为_．
为的中点，
，．
,.
四边形为平行四边形，
．又_，平面，
．
（2）为直三棱柱，
平面．
又平面，
_．
，且，
_．
又平面，
．
_，
．
以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理．请选出符合逻辑推理的选项（只需填写“A”或“B”）．

空格序号	选项
①	A．矩形                                     B．梯形
②	A．平面       B．平面
③	A．                        B．
④	A．平面       B．平面
⑤	A．                        B．

【推荐3】如图，四棱锥的所有棱长都等于，为线段的中点，过，，三点的平面与交于点，则四边形的周长为________.

【推荐1】如图1，在矩形ABCD中，，E为AB的中点，将沿DE折起，点A折起后的位置记为点，得到四棱锥，M为AC的中点，如图2.某同学在探究翻折过程中线面位置关系时，得到下列四个结论：

①恒有；                                        ②恒有平面；
③三棱锥的体积的最大值为；   ④存在某个位置，使得平面平面.
其中所有正确结论的序号是___________.

【推荐2】已知正方体的棱长为2，P为正方形ABCD内的一动点（包含边界），E、F分别是棱、棱的中点．若平面BEF，则AP的取值范围是_____．

【推荐3】正方体中，E是棱的中点，F是侧面内的动点，且平面，若正方体的棱长是2，则线段的最小值______.
   

【推荐1】在三棱锥P­ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA=90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC=4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为___________.

【推荐2】在中，，，，分别为，的中点，沿将折起到的位置，使平面平面，如图所示.若是的中点，则四面体外接球的体积是___________.
   

【推荐3】在棱长为2的正方体中，点为中点，点在正方形内运动（含边界），在点运动过程中，点到平面的最小距离是______.