【推荐1】如图，长方体的底面ABCD是正方形，点M，N分别在棱，上，且.
   
(1)求证：平面平面；
(2)当时，平面与平面将长方体分成的三部分的体积之比为，求的值.

【推荐2】如图，已知直四棱柱的底面是直角梯形，，，、分别是棱、上的动点，且，，，.

（1）证明：无论点怎样运动，四边形都为矩形；
（2）当时，求几何体的体积.

【推荐3】如图，A₁B₁C₁D₁是以ABCD为底面的长方体的一个斜截面，其中AB=4，BC=3，AA₁=5，BB₁=8，CC₁=12，求该几何体的体积.

【推荐1】如图，四棱锥的底面为正方形，平面，是的中点，．

(1)求证：平面；
(2)设直线与平面交于，求证：．

【推荐2】如图正方体中，M是的中点，E是上一点，平面．

（1）证明：E是的中点；
（2）求二面角的余弦值．

【推荐3】如图，在直三棱柱中，，是的中点，是线段上的点，，.

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成二面角的正弦值.

【推荐1】如图，在三棱锥中，平面，M为棱上的动点．

(1)若M为棱上的中点，求证：∥平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值；
(3)若与所成角的余弦值为，求二面角的余弦值．

【推荐2】如图，矩形中，，，点，在边，上，且.将矩形沿折起至，使得，，分别为，的中点.

(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值.

【推荐3】如图，在四棱柱中，侧棱底面,

（Ⅰ）求证：平面
（Ⅱ）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值
（Ⅲ）现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，写出的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）